Differentialgleichungen Richtungsfeldern zuordnen

Question

In einer Aufgabe sollten 6 Differentialgleichungen 6 gegebenen Richtungsfeldern zugeordnet werden.

$$a)\quad y'x+y=0\leftrightarrow y'=-\frac{y}{x}$$

$$b)\quad yy'+x=0\leftrightarrow y' = -\frac {x}{y}$$

a) wurde dieses Richtungsfeld zugeordnet:

Es macht Sinn für mich, dass die y-Achse keine Tangenten enthält, weil dort x = 0 ist.

(1) Warum jedoch gibt es eine Tangente im Nullpunkt? 0/0 ist doch nicht definiert.

(2) Kann ich davon ausgehen, dass es auf der x-Achse lauter horizontale Tangenten (also Steigung = 0) hat?

b) wurde dieses Richtungsfeld zugeordnet:

(3) Ich verstehe nicht, wieso es auf der x-Achse vertikale Tangenten hat. Für y = 0 ist doch nichts definiert. Da dürften meiner Meinung nach deshalb analog zum anderen Richtungsfeld keine Tangenten sein.

Answer 1

Hi,
(a) für feste \( y \) geht die Steigung mit wachsendem \( |x| \) gegen \( 0 \). D.h. auch, das für \( y = 0 \) und \( x \ne 0 \) die Steigung gleich \( 0 \) ist. Im Nullpunkt ist die Steigung nicht definiert, da hast Du recht.

(b) Für \( y \to 0 \) geht die Steigung gegen \( \infty \). Insofern sind auf der x-Achse senkrechte Steigungen zu erwarten.

Comments

Ich bedanke mich für deine Antwort.

(a) Das heisst dann wohl, dass die ML einen Fehler im Nullpunkt hat. Und das heisst also, dass auf der y-Achse wohl auch senkrechte Tangenten sind, weil wenn x gegen 0 strebt, die Steigung gegen unendlich geht.

Generell verwirrt es mich etwas, dass man die Teilung durch 0 als Streben gegen unendlich interpretiert. Unendlich ist ja an sich keine Zahl, daher hätte ich erwartet, dass man die Tangenten für diese Fälle weglässt.