Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen E1 und E2 und bestimmten Sie ggf. eine Gleichung der Schnittgeraden.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen \( E_{1} \) und \( E_{2} \). Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden.

a) \( \mathrm{E}_{1}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 3\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{c}-5 \\ 5 \\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 9\end{array}\right), \mathrm{E}_{2}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-9 \\ 9 \\ -4\end{array}\right)+\mathrm{t}\left(\begin{array}{c}4 \\ -4 \\ 5\end{array}\right)+\mathrm{u}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)

b) \( \mathrm{E}_{1}: \mathrm{x}-2 \mathrm{y}-\mathrm{z}=5, \mathrm{E}_{2}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 8 \\ 8\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)+\mathrm{s}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)

Answer 1

N1 = [-5, 5, 1] ⨯ [2, 4, 9] = [41, 47, -30]

N2 = [4, -4, 5] ⨯ [1, 1, 1] = [-9, 1, 8]

Die Normalenvektoren sind linear unabhängig. Also sind die Ebenen nicht parallel und schneiden sich

[3, 3, 3] + r·[-5, 5, 1] + s·[2, 4, 9] = [-9, 9, -4] + t·[4, -4, 5] + u·[1, 1, 1]

r = (6 - u)/3 ∧ s = (u - 3)/3 ∧ t = u/3

[-9, 9, -4] + (u/3)·[4, -4, 5] + u·[1, 1, 1] = [-9, 9, -4] + u·[7/3, - 1/3, 8/3]

Schnittgerade: [-9, 9, -4] + r·[7, -1, 8]

Versuche das mal so nachzuvollziehen. und löse dann die andere Aufgabe alleine.

Comments

wie kommt man auf dieses Ergebnis r = (6 - u)/3 ∧ s = (u - 3)/3 ∧ t = u/3?

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Du hast 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Das Gleichungssystem ist Unterbestimmt. Man hat hier ein Freiheitsgrad. d.h. eine Unbekannte kann dabei durchaus stehenbleiben in der Lösung.

Schreibe das also als Gleichungssystem auf und löse es mit dem Gaus.