Zeiegen sie, dass die Funktion arccos im Intervall (-1;1) differenzierbar ist?

Question

Die Funktion arc cos: x-> arccos (x) ; x ∈ [-1;1 ist die Umkehrfunktion zur Funktion cos : x -> cos(x); x ∈ [0; π].

Zeigen Sie, dass die Funktion arccos im Intervall (-1;1) differenzierbar ist und das gilt:

(arccos(x))´ = - 1 /  √(1-x^{2) .}.

Danke

Comments

Wie die Ableitung funktioniert findest du hier

https://www.mathelounge.de/68717/ableitung-von-arcuscosinus-d-dx-arccos-x-1-%E2%88%9A-1-x-2-herleiten

Answer 1

Satz von der differenzierbarkeit der Umkehrfunktion

beinhaltet den ersten Teil der Aussage.

und  liefert für  f^-1 = arccos  und f(x) = y= cos(x) die Aussage

arccos' ( y) = 1 / - sin(x)     und wegen sin(x) = wurzel( 1-cos^2(x) ) = wurzel( 1-y^2 )

ist also arccos' ( y) = = 1 / - wurzel ( 1 -y^2 ) = -1 / wurzel( 1-y^2 )    q.e.d.