Ln-Funktionenschar fa(x):= (a-lnx)*lnx. Gemeinsamen Punkt zeigen.

Question

Hallo

Wie zeige ich den gemeinsamen punkt dieser schar bei (1/0)

(a-lnx)*lnx

Kann mit jemand das anhand der rechenwege erklären?

Answer 1

f(x) = (a - LN(x))·LN(x)

Einfach 1 einsetzen

f(1) = (a - LN(1))·LN(1) = (a - 0)·0 = 0

Der Funktionswert ist damit unabhängig von a.

Comments

Da gibt es aber auch noch eine abdere variante indem man 2 funktionen gleichsetzt

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Du kannst die Funktionen mit unterschiedlichen Scharparametern gleich setzen

(a - LN(x))·LN(x) = (b - LN(x))·LN(x)

Für LN(1) sind beide seiten null. Dann können wir durch LN(x) teilen

a - LN(x) = b - LN(x)   | + LN(x)

a = b

Es gibt also nur x = 0 als eine Lösung. Ansonsten müsste a = b sein.

Answer 2

\(f_a(x)=(a-\ln(x))\cdot \ln(x)\)

Für \(a=0\) ergibt sich \(p(x)=-\ln^2(x)\) Die Funktion schneidet die Funktionenschar in allen gemeinsamen Punkten:

\((a-\ln(x))\cdot \ln(x)=-\ln^2(x)\)

\((a-\ln(x))\cdot \ln(x)+\ln^2(x)=0\)

\(a\ln(x)-\ln^2(x)+\ln^2(x)=0\)

\(a\ln(x)=0|:a\)  mit \(a≠0\)

\(\ln(x)=0\)

\( e^{\ln(x)}=e^{0} \)

\(x=1\)

Der einzige gemeinsame Stelle ist bei \(x=1\)    → \(f(1)=0\)