Kreissektor / Sektorfläche berechnen? r(φ) = sin^{2}(φ)

Question

Kreissektor / Sektorfläche berechnen:

\( r(\varphi)=\sin ^{2}(\varphi), \quad 0 \leq \varphi \leq 2 \pi \)

Skizze der Funktion habe ich bereits, nun muss ich die Sektorfläche berechnen.

Ich weiß nun nicht wie ich dabei vorzugehen habe, wird es über das Integral gemacht?

Answer 1

Hi,

als Anschubser: du sollst

$$ \int \limits_0^{2\pi} \int \limits_0^{r(\varphi)} rdrd\varphi $$

berechnen.

Dabei wirst du ganz natürlich über die Sektorformel von Leibniz stolpern.

Gruß

Answer 2

Das ist ja fast die gleiche Frage noch einmal. Ich hatte Dir doch schon gesagt, dass man

phi nur bis Pi/2 laufen lassen braucht, um "ein halbes Ei" also A/4 zu berechnen.

Also mehr und über den Weg der kartesischen Koordinaten (Wikipedia hatte ich Dir auch...):

x=r*cos(t)=sin(t)²*cos(t)

y=r*sin(t)=sin(t)²*sin(t)

90° nach rechts gekippt:

x=sin(t)²*cos(t),y=sin(t)²*sin(t) ergibt mit

inverse sin(t)²*sin(t) = asin(y^{1/3})

x(y)=sin(asin(y^{1/3}))²*cos(asin(y^{1/3})) nun x & y vertauschen, da 90° gedreht:

y= sin(asin(x^{1/3}))²*cos(asin(x^{1/3})) von 0 ... 1

sin(asin(x^{1/3}))²*cos(asin(x^{1/3})) = sqrt(1-x^{2/3}) x^{2/3}

1/4 der gesuchten Gesamtfläche beträgt also:

A/4 = ∫ sqrt(1-x^{2/3}) x^{2/3} dx, x=0...1 = 3Pi/32 =  0.294524311274...

siehe Bild:  sqrt(1-x^{2/3}) x^{2/3}=sqrt(1-pow(x,2/3))*pow(x,2/3)

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm

A = 4 * A/4 ... -> nun alles verstanden?

Comments

Habe den oberen Teil verstanden, kannst du mir nochmal erklären wie man auf die 3pi/32 am Ende kommt. was hast du eingesetzt ?

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Zwischenschritt: 

∫ sqrt(1-x^2/3) x^2/3 dx  = (sqrt(1-x^{2/3})*(-3 x^{1/3}-2 x+8 x^{5/3})+3 asin(x^{1/3}))/16 

die Grenze hatte ich bereits angegeben (bei x=0 kommt 0 raus und bei 1 das angegebene).  

Interessant wäre, ob der andere Lösungsweg von Yakyu auch auf 3Pi/8 kommt...

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Konnte es nicht abwarten und habe Doppelintegral nachgerechnet:

1. innere Integral:

∫  x dx,x=0...x = x²/2  dann außen:

∫ sin(x)^4/2,x=0...2Pi = 3Pi/8 -> ja , selbe Ergebnis