Vektorgeometrie, Winkelhalbierende von 2 Geraden gesucht.

Question

Hi Leute

Ich beschäftige mich zur Zeit mit Vektorgeometrie und hätte dazu eine Frage.

Gegeben sind die Geraden g und h.

Aufgabenstellung: Gib die Gleichungen der beiden Winkelhalbierenden von g und h.

g: (x,y,z) = (7,2,6) + s•(3,4,0)

h: (x,y,z) = (-1,-7,8) + t•(2,1,-2)

Leider weiss ich nicht, wie die Zahlen untereinander aufzuschreiben.

Aufjedenfall wäre ich um eine detaillierte Erklärung, Schritt für Schritt und möglichst ausführlich, dankbar!

Gruss und noch einen schönen Abend

Answer 1

Gib die Gleichungen der beiden Winkelhalbierenden von g und h an.

g: (x,y,z) = (7,2,6) + s•(3,4,0)

h: (x,y,z) = (-1,-7,8) + t•(2,1,-2)

Folgende Schritte: 
1. Berechne den Schnittpunkt von g und h. Grundaufgabe (Kannst du selbst).
Sein Ortsvektor ist der Stützvektor der beiden Winkelhalbierenden. 
2. Berechne die Länge der beiden gegebenen Richtungsvektoren.

|(3,4,0)| = √(9+16) = √25 = 5

|(2,1,-2)| = √(4+1+4) = √9 = 3.

3. Mache die Stützvektoren gleich lang.

3*(3,4,0)  = (9,12,0)

5*(2,1,-2) = (10, 5, -10) 

4. Addition und Subtraktion dieser Vektoren gibt die Richtungsvektoren der beiden Winkelhalbierenden.

v1 = (9,12,0) + (10, 5, -10) = (19, 17, -10)

v2 = (9,12,0) - (10,5,-10) = (-1, 7, 10)

Bis hier mal alles schön nachrechnen und dann noch Punkt 5: 

5. Stützvektor aus 1. und Richtungsvektoren aus 4. zu  zwei Geradengleichungen kombinieren. 

Comments

Super, ich danke dir!

Besser geht's nicht!

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vielen Dank für die tolle Antwort

Ich habe aber noch eine Verständnisfrage zu Punkt 3: Weshalb müssen die Richtungsvektoren der beiden Winkelhalbierenden gleich lang sein? 

Ich wäre froh um eine Antwort, :) 

Answer 2

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das sind ja die selben zwei Geraden wie bei deiner anderen Frage:

https://www.mathelounge.de/225568/vektorgeometrie-gerade-an-gerade-spiegeln
die dort gemachten Feststellungen gelten also auch hier.


zunächst -> es macht sich gar nicht gut, dass du keine eigenen Ideen notierst


und nun zu deinen Winkelhalbierenden:

-> beide gehen durch den Schnittpunkt S von g und h
(nebenbei:
es ist nicht selbstverständlich - eher sogar selten,
dass Geraden im Raum einander schneiden !
- im Beispiel hast du Glück..)


also brauchst du nur noch geeignete Richtungsvektoren

1.) -> berechne zuerst aus den Richtungsvektoren von g und h die
  dazugehörenden Einheitsvektoren e_g und e _h

2.) -> die Vektoren w_1 = e_g  + e _h  und  w_2 = e_g  -  e _h
 
sind dann mögliche  Richtungsvektoren für die beiden Winkelhalbierenden

und schon kannst du für beide eine Gleichung notieren.

fertig.

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