Dreielementige Menge zum Vektorraum

Question

Wird jede dreielementige Menge zu einem Vektorraum über einem geeigneten Körper?

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Vektorräume sind wie Kinder, sie benötigen Struktur.

Answer 1

wie schon gesagt, musst du eine Struktur draufsetzen, insgesondere

eine geeignete Addition für die "Vektoren".

Wenn du drei Elemente hast, muss eines der Nullvektor sein

und die anderen beiden sind etwa x und y.

o+x und o+y   sind ja klar, aber was ist x+y und x+x und y+y ?

Das muss ja mit der Skalarmultiplikation mit den Körperelementen

zusammenpassen.

Wenn du x+x=y und y+y=x wählst und x+y=y+x=0

Dann passt alles, wenn du den Körper mit den drei Elementen 0,1,2 = F3

benutzt.    

Denn     z.B.   1*x + 2*x =   x + y  = 0

und   (1+2) * x = 0*x = 0

etc. Die anderen Axiome passen auch.

Comments

Sowas in der Richtung habe ich mir auch gedacht. Nur die Frage verwirrte mich bisschen. Wenn man also als geeigneten Körper den IF_(3) wählt wird jede dreielementige Menge über IF_(3) (da es nur 3 Elemente gibt) zu einem Vektorraum. Und somit wäre die Aussage wahr.

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genau. Und mit der von mir vorgeschlagenen Addition muss

man eigentlich auch noch die S-Multiplikation definieren.

Aber das wird ja eher kanonisch gemacht

x*0-Vektor = 0-Vektor

1*Vektor z = z

2* Vektor z = z+z