Folgende Abbildung:
\( x^{T}\left(\begin{array}{ll}5 & 4 \\ 9 & 7\end{array}\right) y \)
Ich muss prüfen, ob es ein Skalarprodukt ist. Laut meiner Rechnung ja (war mir nicht sicher), laut Lösung ist es keins. Hier mal mein Rechenweg:
1) Symmetrie: \( <x,y> ={ x }^{ T }\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}y = ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}\begin{matrix} { y }_{ 1 } \\ { y }_{ 2 } \end{matrix}= ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }) \begin{pmatrix} 5{ y }_{ 1 } & + 4{ y }_{ 2 } \\ 9{ y }_{ 1 } & + 7{ y }_{ 2 } \end{pmatrix} = 5{ x }_{ 1 }^{ 2 }+13{ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }+7{ x }_{ 2 }^{ 2 } \)
Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob es symmetrisch ist...
2) linear:
\( <x,\alpha y\quad +\quad \beta z>\quad ={ \quad x }^{ T }\left( \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}(\alpha y\quad +\quad \beta z) \right) \quad =\quad { \quad x }^{ T }\quad \left( \alpha \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}y\quad +\quad \beta \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}z \right) \quad =\quad \alpha { \quad x }^{ T }\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}y\quad +\quad \beta { \quad x }^{ T }\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}z\quad =\quad \alpha <x,y>\quad +\quad \beta <x,z> \)
3) positiv definiert:
\( <x,x>\quad =\quad { \quad x }^{ T }\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}x\quad =\quad 5{ x }_{ 1 }^{ 2 }+13{ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }+7{ x }_{ 2 }^{ 2 } \)
Jetzt muss ich eine binomische Formel daraus basteln, denn sonst könnte die 13x1x2 ja dazu führen, dass alles negativ wird. Wie gehe ich hier weiter?
Ich vermute, dass die Abbildung kein Skalarprodukt ist, weil es nicht symmetrisch ist. Wobei ich mir bei der dritten Bedingung auch unsicher bin.
