Ableitung und Berechnung der extremwerte

Question

Bestimmen der 1. Ableitung und Überprüfung auf Extremwerte im Def Bereich [-pi/2, pi/2] und Berechnung dieser. f (x)=ln (1+sin (x))

Danke für die Hilfe

Answer 1

[ ln ( term )] ´ = 1 / term * ( term ´ )

f (x)=ln (1+sin (x))

f ´( x ) = 1 / [ 1+sin (x) ] * cos ( x )

f ´( x ) = cos ( x )  / [ 1+sin (x) ]

Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist.

cos ( x ) = 0

~plot~ cos (x) ~plot~

Die cos - Funktion ist im Def-Bereeich bei -pi/2 und pi/2 gleich 0.

Comments

Jetzt noch die Ergebnisse in die Funktionsgleichung einsetzen
f ( pi/2 )  und den Funktionswert ausrechnen.
E ( pi/2  | f ( pi/2 ) )

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Vielen Dank für die schnelle Hilfe.  ich muss noch den Wertebereich von f angeben sowie die Umkehrfunktion.  Da bräuchte ich nochmal Hilfe.  Danke

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f (x)=ln (1+sin (x))
y = ln (1+sin (x))
Def-Bereich [ -π / 2 ; π / 2 ]
sin(π / 2) = 1
ln ( 1 + 1 ) = ln ( 2 )

sin(-π / 2) = -1
ln ( 1 - 1 ) = ln ( 0 )

Hier ergibt sich die Frage ob -pi/2 nicht außerhalb
des Def-Bereichs liegt.

~plot~ ln (1+sin (x))  ~plot~

Der Graph zeigt auch -pi/2 liegt außerhalb des Def-Bereichs


Umkehrfunktion

x = ln (1+sin (y))   | e ( )
e^x = 1 + sin ( y )
sin ( y ) = e^x - 1  | arcsin ()
y = arcsin ( e^x - 1 )
f^{-1} (x ) = arcsin ( e^x - 1 )

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( ich komme gerade vom Fernsehen zurück )

Für den Bereich
] - pi/2, pi/2 ]
( ausschließlich - pi/2 )
liegt der Wertebereich bei
] -∞ ; ln ( 2 ) ]
( wie auch auf der Skizze zu sehen )