Kettenregel sin, ln, e funktion

Question

Aufgabe:

Bestimme die erste Ableitung von \( f(x)=\ln \left(1+x^{4}\right) \sin \left(e^{2 x}\right) \)

Problem/Ansatz:
Ich weiß dass: ln(1+x^4) zu \( \frac{4x^3}{1+x^4} \) , sin zu cos, und e^2x zu 2e^2x wird.
Ich weiß nicht genau wie ich die Kettenregel im hinteren Teil anwenden muss.

Answer 1

Aloha :)

Die beiden inneren Funktionen habe ich mal farbig dargestellt:$$f(x)=\underbrace{\ln\left(\green{1+x^4}\right)}_{=u}\cdot\underbrace{\sin\left(e^{\red{2x}}\right)}_{=v}$$$$f'(x)=\underbrace{\overbrace{\frac{1}{\green{1+x^4}}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{\green{4x^3}}^{\text{Abl.} (1+x^4)}}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin\left(e^{\red{2x}}\right)}_{=v}+\underbrace{\ln\left(\green{1+x^4}\right)}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{\cos\left(e^{\red{2x}}\right)}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{e^{\red{2x}}}^{\text{Abl. }e^{2x}}\cdot\overbrace{\red2}^{\text{Abl. }2x}}_{=v'}$$$$f'(x)=\frac{4x^3}{1+x^4}\sin\left(e^{2x}\right)+2e^{2x}\ln(1+x^4)\cos(e^{2x})$$

Comments

Danke, wie wäre es denn jetzt, wenn ich noch einen dritten Operand dranhängen würde?
Würde ich dann u * v * w zu u'*v*w + v'*u*w + w'*u*v machen?

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Die Produktregel für 3 Funktionen lautet:$$(uv w)'=u'vw+uv'w+uvw'$$

Bei der Kettenregel musst du dich wie bei einer Kette von der äußeren Funktion bis zum inneren \(x\) durcharbeiten.

Answer 2

Produktregel
u= ln(1+x^4), u' = 4x^3/(1+x4)

v= sin e^(2x), v' = cos e^(2x)* 2*e^(2x)

https://www.ableitungsrechner.net/