Grenzwert lim x->0 (1/x) - (cos(x)/sin(x))

Question

Hi,

ich hab da deine Frage... Also, wenn ich den Grenzwert für x -> 0 von der Funktion f(x) = (1/x) - (cos(x)/sin(x)) berechnen möchte, kommt mit l'hospital

lim x->0 (1/x) - (cos(x)/sin(x))

= lim x->0 (sin(x)*x)/(sin(x)+cos(x)*x)

= lim x->0 (cos(x)*x+sin(x))/(2*cos(x)-sin(x)) = 0/2 = 0

heraus.

Wenn ich aber im Taschenrechner eine Wertetabelle erstelle, ergibt sich Folgendes:

    x                   f(x)

10^-3               -56295

2*10^-3           -28147

3*10^-3           -14073

usw.

Es nähert sich also ganz und gar nicht null...

Kann mir das jemand erklären? Steigt der Graph plötzlich wieder? Habe ich einen Fehler gemacht?

Ich wäre über Hilfe sehr dankbar...

Answer 1

Brüche subtrahieren:

a/b - c/d = ad/(bd) - bc/(bd)

= (ad - bc)/(bd) 

Comments

Hi, lass dich bitte nicht verunsichern, ich habe die Frage gestellt und mich erst anschließend registriert, deswegen heiße ich jetzt anders, bin aber trotzdem der Fragesteller ;)

die Antwort verstehe ich nicht so ganz...

l'hospital sagt ja folgendes aus:

lim x->0 h(x)/g(x) = lim x->0 h'(x)/g'(x), wenn lim X->0 = 0/0

meinst du, dass die Ableitungen falsch sind? Die hab ich aber gerade nochmal nachgerechnet, ich glaube, die stimmen...

Danke auf jeden Fall schon einmal für die Antwort

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Kontrolliere erst mal dein: 

" lim x->0 (1/x) - (cos(x)/sin(x)) 

= lim x->0 (sin(x)*x)/(sin(x)+cos(x)*x) "

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lim x->0 (1/x) - (cos(x)/sin(x)) 

= lim x->0 (sin(x) - x*cos(x) )/(x*sin(x)) 

EDIT: Dass 0 rauskommt stimmt. Du hattest wohl einfach den ersten Rechenschritt unterschlagen. 

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lim x->0 (1/x) - (cos(x)/sin(x)) = lim x->0 (sin(x) - cos(x)*x)/(x*sin(x))

Jetzt kommt l'hospital:

lim x->0 (sin(x) - cos(x)*x)/(x*sin(x)) = (cos(x) - cos(x) + sin(x)*x)/(cos(x)*x + sin(x))

= lim x->0 (sin(x)*x)/(cos(x)*x + sin(x))

Irgendwie fühle ich mich verpeilt, bin ich der einzige, der meinen Fehler nicht sieht? :(

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ah, dankeschön... also null stimmt... und was ist mit der wertetabelle?

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Wertetabelle hast du irgendwie verkehrt eingegeben. 

f(10^{-3}) = -0.00001745329282633291324600224957811010626292406636

https://www.wolframalpha.com/input/?i=++1%2F%2810%5E%28-3%29+-+%28cos%2810%5E%28-3%29%29%2Fsin%2810%5E%28-3%29%29%29+++

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*Kopf meets Wand*

tja, kaum stellt man den Taschenrechner auf Radiant um...

Danke, danke, danke... tut mir echt leid, dass dich das deine zeit gekostet hat...