Grenzwert von Lim x->0 (1-cos(2x)) / (x*sin(x)) bestimmen

Question

Aufgabe:

Hey ich hänge gerade ewig an einer Aufgabe und finde keinen richtigen Ansatz diese zu lösen:

Die Aufageb Lautet: Bestimme, falls existent, den Grenzwert

von Lim x->0  (1-cos(2x)) / (x*sin(x))

laut wolfram alpha soll der Grenzwert = 2 sein jedoch würde ich gern wissen wie man darauf kommt.

Comments

Hallo,

"würde ich gern wissen wie man darauf kommt."

Kennst Du den Satz von l'Hospital? Sollte das nicht der Fall sein, könntest Du die trigonometrischen Funktionen mithilfe ihrer Taylorreihen darstellen.

Gruß

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Hey MathePeter,

beim anwenden con L'hospital

bekomme ich dann:

lim x->0 (2 sin(2x)) / (-cos(x))

wodurch ich dann auf den Grenzwert 0/-1 komme welcher sehr wahrscheinlich nicht korrekt ist

Answer 1

Hier nur direkt nur mit dem Satz von L'Hospital:

lim (x → 0) (1 - COS(2·x))/(x·SIN(x))

L'Hospital

= lim (x → 0) (2·SIN(2·x))/(SIN(x) + x·COS(x))

L'Hospital

= lim (x → 0) (4·COS(2·x))/(2·COS(x) - x·SIN(x))

= (4·1)/(2·1 - 0·0) = 4/2 = 2

Answer 2

Nutze den Fakt, dass \(\cos(2x)=1-2\sin^2(x)\).

Answer 3

Verwende cos(2x) = 1 - 2sin(x)^2

==> (1-cos(2x)) / (x*sin(x))

 = 1-(1-2sin(x)^2) / (x*sin(x))

= 2 sin(x)^2 / (x*sin(x))   mit sin(x) kürzen

= 2 sin(x) / x

und der GW von sin(x) / x für x gegen 0 ist 1.