Rekonstruktion der Funktion scheitert bei Sattelpunkt bei x=0 und Extremum bei x=1

Question

Zeigen Sie, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades gibt, die bei x=  0 einen Sattelpunkt und bei x= 1 ein Extremum hat.

Answer 1

Zeigen Sie, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades gibt

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

die bei x=0 einen Sattelpunkt

f'(0) = 0
c = 0

f''(0) = 0
2·b = 0

und bei x=1  ein Extremum hat.

f'(1) = 0
3·a + 2·b + c = 0
3·a = 0
a = 0

Wenn a aber 0 ist dann ist es keine Funktion 3. Grades.

Answer 2

Hi CeLimOVER,

 

Ein Sattelpunkt verlangt folgendes:

f'(x)=0

f''(x)=0

und f'''(x)≠0

 

Dabei sehen die Ableitungen wie folgt aus:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

f'(x)=3ax^2+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

f'''(x)=6a

 

Demnach müssen b=0 (zweite Ableitung soll f''(0)=0 sein) und c=0 (f'(0)=0).

Es bleibt also f'(x)=3ax^2, welches für x=1 nie 0 wird (wobei a≠0) und das aber die Bedingung an ein Extremum ist: f'(x)=0 und f''(x)≠0.

 

Grüße