Rekonstruktion einer Funktionen 3. Grades mit Extremum im Ursprung und im Punkt P(2|4)

Question

Der Graph eine ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung und im Punkt P(2/4) jeweils ein Extremum. Wie lautet die Funktionsgleichung ?

Answer 1

Der Graph eine ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung und im Punkt P\((2|4)\) jeweils ein Extremum. Wie lautet die Funktionsgleichung ?

Extremum im Ursprung bedeutet, dass dort eine doppelte Nullstelle ist:

\(f(x)=ax^2(x-N)\)

Punkt P\((2|4)\):

\(f(2)=4a(2-N)=4\)

\(a=\frac{1}{2-N}\):

\(f(x)=\frac{1}{2-N}(x^3-Nx^2)\)

\(f'(x)=\frac{1}{2-N}(3x^2-2Nx)\)

Extremum Eigenschaft Punkt P\((2|...)\):

\(f'(2)=\frac{1}{2-N}(12-4N)\)

\(\frac{1}{2-N}(12-4N)=0\)

\(N=3\)

\(a=-1\)

\(f(x)=-x^2(x-3)\)

Answer 2

Die Informationen, die du daraus gewinnen kannst:

f(2) = 4

f(0) = 0

f'(0) = 0

f'(2) = 0

 

Setzt man die in die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades ein:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

also

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Dann erhält man vier Gleichungen für die Unbekannten a, b, c und d.

Schaffst du das selbst?

 

Die Lösung lautet übrigens f(x) = -x³ + 3x²

Answer 3

Der Graph eine ganzrationalen Funktion dritten Grades

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

hat im Ursprung [ein Extremum]

f(0) = 0

d = 0

f'(0) = 0

c = 0

und im Punkt P(2/4) jeweils ein Extremum.

f(2) = 4

8a + 4b = 4

f'(2) = 0

12a + 4b = 0

Wie lautet die Funktionsgleichung ?

LGS

8a + 4b = 4

 

12a + 4b = 0

Lösung nach Additionsverfahren a = -1 und b = 3

Damit lautet die Funktion

f(x) = -x^3 + 3x^2

Anbei die Skizze

 

Answer 4

Was du von mir lernen musst. Das Arbeiten mit schäbigen Tricks. Was Internet und Lehrer nicht wissen / sagen.

Was sich auch nach meinen Beiträgen nicht rum spricht.

" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "

Für dich habe ich gleich zwei Strategien auf Lager.

x ( max ) = 0 ; x ( min ) = 2   ( 1 )

Aber damit haben wir doch schon beide Wurzeln der ersten Ableitung beisammen.

f ' ( x ) = k x ( x -2 ) = k ( x ² - 2 x )  ( 2 )

Alles was jetzt noch zu tun bleibt, ist, was die Kollegen von " Lycos " als " Aufleiten " bezeichnen ===> Stammfunktion ===> Integral

f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - x ² ) + C   ( 3 )

Die ===> Integrationskonstante C verschwindet sogar ( warum? )

jetzt noch die Bedimngung einsetzen für x = 2

k ( 8/3 - 4 ) = 4 | : 4   ( 4a )

Kürzen nicht vergessen

k ( 2/3 - 1 ) = 1 ===> k = ( - 3 )   ( 4b )

f ( x ) = 3 x ² - x ³   ( 4c )

Und jetzt die Alternative. Das Extremum im Ursprung ist immer eine Nullstelle von gerader Ordnung - hier offensichtlich doppelte

( Schließlich kann ein Polynom 3. Grades keine 4 Wurzeln haben. ) Zunächst in Normalform hättest du also eine Unbekannte x3

f ( x ) = x ² ( x - x3 ) = ( 5a )

= x ³ - x ² x3 = ( 5b )

=: x ³ + a2 x ²   ( 5c )

Damit lässt sich auch eine Menge anfangen. Man muss eben nur zwei Dinge wissen:

" Jedes kubische Polynom verläuft Punkt symmetrisch gegen seinen WP. "

Hätte dir das jemand so gesagt ( und bei Steckbriefaufgaben brauchst du es wie das täglich Brot ) würdest du sehen

x ( w ) = 1   ( 6a )

( Die Extrema fallen immer Spiegel symmetrisch zum WP. )

Davon hättest du aber noch nicht allzu viel, wenn ich dir nicht sage, dass du für den WP nämlich keiner 2. Ableitung bedarfst. Aus der Normalform ( 5c ) für Formelsammlung und Spickzettel

x ( w ) = - 1/3 a2 = 1 ===> a2 = ( - 3 )  ( 6b )

f ( x ) = k ( x ³ - 3 x ² )   ( 6c )

Halt stop; der ==> Leitkoeffizient k war ja noch offen. Berechne ihn und verglweiche die Lösung mit ( 4c )