Wie lang und breit muss das Rechteck sein, wenn Flächeninhalt der Figur 100 cm² ist und der Umfang minimal sein soll?

Question

Aufgabe:

Die nebenstehende Figur ist aus einem Rechteck und zwei rechtwinkligen Dreiecken zusammengesetzt.

a) Wie lang und wie breit muss das Rechteck sein, wenn der Flächeninhalt der Figur \( 100 \mathrm{~cm}^{2} \) ist und der Umfang minimal sein soll?

b) Wie lang und wie breit muss dass Rechteck sein, wenn der Umfang der Figur \( 50 \mathrm{~cm} \) ist und der Flächeninhalt maximal sein soll?

Answer 1

wenn die Dreiecksseiten x und die lange Rechtecksseite y ist, dann ist

die  kurze Rechteckseite  x*wurzel(2)  und

der Flächeninhalt   2* Dreieck + Rechteck

2* 0,5x^2 + y*x*wurzel(2)      =  x^2 + y*x*wurzel(2) 

und das ist 100, also

100 = x^2 + y*x*wurzel(2) also  y = (100 - x^2 ) / ( x*wurzel(2) )

Dann ist der Umfang u = 4x + 2y

also u(x) = 4x + 2* (100 - x^2 ) / ( x*wurzel(2) )

jetzt u ' (x ) bilden, gibt     (4-wurzel(2))*x^2 - 100*wurzel(2) ) / x^2 

Null setzen gibt x=7,4 ungefähr.