Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt nicht immer 180°

Question

folgende Frage beschäftigt mich gerade:

In einer positiv gekrümmten Fläche, beispielsweise einer Kugel, ist doch die Winkelsumme eines Dreiecks größer als 180° ?

Gibt es dazu auch ein negativ gekrümmtes Pendant mit einer Winkelsumme kleiner als 180° und wie habe ich mir diese Fläche vorzustellen ?

Vielleicht unterläuft mir jetzt gerade ein Denkfehler, aber würde das nicht bedeuten, dass sich 2 parallele Geraden eben nicht erst im Unendlichen schneiden bzw. eine Gerade nicht die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten ist ? 

Freue mich über Hilfe !

Vielen Dank

Sophie

Answer 1

willkommen in der nichteuklidischen Geometrie :)

Das mit der negativen Krümmung hast du vollkommen richtig erkannt. Auf solchen Flächen haben Dreiecke eine Winkelsumme, die kleiner ist als 180°. Vorstellen kannst du dir solche Flächen mit dem Beispiel der Sattelfäche. Hyperboloiden sind vielleicht als leicht vorstellbares Beispiel geeignet:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/Hyperboloid1.png

Von Geraden redet man bei solchen Räumen eigentlich nicht mehr. Die kürzeste Verbindung bezeichnet man als Geodäte.

https://de.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A4te

Gruß

Answer 2

Deine Vermutungen sind richtig !

Kannst du auch nachrechnen bei www.arndt -bruenner .de