Steckbriefaufgabe: Alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades, deren Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung sind, ...?

Question

Brauche bitte Hilfe in dieser Aufgabe(Matrix u. gr Funktionen)

Ich bin hier am verzweifeln bei dieser Aufgabe und bräuchte eure Hilfe :0

Also wie gehe ich da am besten vor :)? brauche ich da ein lineares Gleichungssystem ?

Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades, deren Graphen Punktsymmetrisch zum Ursprung sind, einen Tiefpunkt für x = 1 haben und durch den Punkt A (2I2) gehen.

Answer 1

Du musst nur erstmal den Text vollständig auswerten. Welche Gleichungen hast Du denn aufgestellt und weshalb ?

Comments

Ax^3+bx = f (x) F'(x) = 1  F (2) = 2 = 8a+2b = 2 Irgendwie sowas :D ? 

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Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades, deren Graphen Punktsymmetrisch zum Ursprung sind

dazu passt Dein Vorschlag Ax³+bx = f (x) schon perfekt.

einen Tiefpunkt für x = 1 haben

$$ f'(1)=0$$

Also die Ableitung hat an der Stelle  1 den Wert Null

Dein Vorschlag F'(x) = 1 ist aussagefrei und daher wertlos.

und durch den Punkt A (2I2) gehen.

Dazu erst die angenommene Funktionsgleichung heranholen

$$f(x)  = a \cdot x^3 + b \cdot x $$

und die Werte (2,2) einsetzen

$$2  = a \cdot 2^3 + b \cdot 2 $$

was mit Deinem Vorschlag wieder konvergiert

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Nun fehlt uns nur noch das mit der Ableitung ... eine Idee ?

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Vllt a und b auf eine seite bringen und dann solange ausrechnen vbis man die beiden raus hat dann ableitung bilden - ich weiß nicht :D 

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Hilft Dir die alternative Komplettantwort ?

Oder weisst noch nicht genau, wie das bearbeitet werden muss ?

Answer 2

Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades,
deren Graphen Punktsymmetrisch zum Ursprung sind, einen
Tiefpunkt für x = 1 haben und durch den Punkt A (2I2) gehen.

Da Punktsymmetrie
f ( x ) = a*x^3 + b*x + c
geht durch den Ursprung
f ( x ) = a*x^3 + b*x
A ( 2  | 2 )
f ( 2 ) = a *2^3 + b*2 = 2
Tiefpunkt : x = 2
f ´( x ) =  3*a*x^2 + b
f ´( 1 ) =  3*a*1^2 + b = 0

a *2^3 + b*2 = 2
3*a*1^2 + b = 0

8 * a + 2 * b = 2
3 * a + b = 0
b = -3 * a

8 * a + 2 * ( -3 * a ) = 2
8 * a - 6 * a = 2
a = 1
b = -3 * 1
b = -3

f ( x ) = x^3 - 3 * x

mfg Georg

Answer 3

Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen 3. Grades, deren Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung sind, einen Tiefpunkt für x = 1 haben und durch den Punkt A (2I2) gehen.

f(x)=a*x*(x-N₁)*(x-N₂)    

Wegen Ursprungssymmetrie gilt f(x)=a*x*(x-N)*(x+N)=a*x*(x^2-N^2).

A (2I2)

f(2)=2a*(2^2-N^2)=2a*(4-N^2)        a*(4-N^2)=1    a=\( \frac{1}{4-N^2} \)

Tiefpunkt für x = 1

f(x)=\( \frac{1}{4-N^2} \)*[x*(x^2-N^2)]

f´(x)=\( \frac{1}{4-N^2} \)*[(x^2-N^2)+x*2x]

f´(1)=\( \frac{1}{4-N^2} \)*[(1-N^2)+2]

\( \frac{1}{4-N^2} \)*[(1-N^2)+2]=0

N₁=-\( \sqrt{3} \)

N₂=\( \sqrt{3} \)

a=1

f(x)=x*(x^2-3)