Seien L, M Mengen. Zeigen Sie: M ⊆ L ∪ M und L ⊆ L ∪ M. (Beweis Mengenlehre)

Question

Aufgabe:

Seien \( L, M \) Mengen. Zeigen Sie: \( M \subseteq L \cup M \) und \( L \subseteq L \cup M \).

Ansatz/Problem:

Wie beweist man eine solche Aufgabe. Intuitiv ist sie mir ja klar, aber ich wollte fragen, ob es ein allgemeines Prinzip gibt, die ich beim Beweisen von solchen Aussagen anwenden kann...

Meine Idee: In der Vorlesung haben wir schonmal über diese Mengenbeziehungen gesprochen und diese per Logik definiert. Sei x ∈ M. Dann folgt ja daraus bzw. kann man ja umformen, dass x∈M∨L sein muss, wodurch dann die Behauptung folgt, oder?

Irgendwie mus ich noch lernen, wie man Beweise präzise führt. Könntet ihr mir sagen, ob meine Grundidee richtig ist und wie man dies nun mathematisch korrekt formulieren würde? (Eine andere Idee wäre M⇒(L∨M) mit einer Wahrheitstabelle zu beweisen. Geht das auch?)

Answer 1

deine Idee ist vollkommen korrekt. Der Ansatz mit der Wahrheitstabelle funktioniert ebenfalls :)

Mathematisch korrekt formuliert wäre zum Beispiel:

$$ \forall x \in M \text{ gilt } x \in L \cup M \Rightarrow M \subseteq L \cup M $$

Gruß

Comments

Vielen Dank Yakyu für die schnelle Antwort! Ich hätte aber nicht mit so etwas Einfachem gerechnet. Dann würden doch meine folgenden Bearbeitungen doch auch stimmen, oder?

Seien L,M Mengen. Man soll zeigen:

(1) L ⊆ L ∪ M

(2) L ∩ M ⊆ L

Also (1) ist nach dem selben Prinzip:

∀ x∈L gilt x ∈ L ∪ M  ⇒ L ⊆ L ∪ M

 Und (2):

(Für alle x ∈ L und x ∈ M) ⇒ x ∈ L

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Jo genau so sieht es aus. Es ist wirklich sehr simpel :)