Wie berechne ich diese DGL zweiter Ordnung? y'' - y = te^t mit y(1) = y'(1) = 1

Question

Aufgabe:

Man bestimme eine Lösung der Differentialgleichung \( y^{\prime \prime}-y=t e^{t} \) mit \( y(1)= \) \( y^{\prime}(1)=1 \) mittels Variation der Konstanten (und nicht mit dem speziellen Ansatz).

Ansatz/Problem:

Also ich habe hier die DGL: y^ΙΙ-y =te^t

Ich habe sie ausgerechnet, mit der Variation der konstanten Technik:
y^ΙΙ= (e^x(2x²+6x+1))8 und y= (e^x(2x²-2x+1))8)

Und wenn ich das jetzt einsetze, kommt das richtige Ergebnis raus.

Doch jetzt verstehe ich nicht, wofür das y(1)=y^Ι(1)=1 ist.

Answer 1

Hallo

Du mußt Dein Ergebnis einmal ableiten.

Dann setzt Du in das Ergebnis und in die 1. Ableitung jeweils die Anfangswerte ein und löst das .

Das ist alles.

PS : Wo ist in Deinem Ergebnis C_1  und C_2 ?

Comments

ich verstehe einfach nicht wie. Also die erste ableitung ist:

y^Ι= (e^x(2x²+2x-1))8) +c (DANKE, hab fergesen) und was jetzt?? 

soll ich jetzt jedes x mit 1 und y mit 1 vertauschen und so das C bekommen???

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Du  mußt zuerst die homogene DGL lösen:

y'' -y=0

Ergebnis: y_h= C_1 *e^x +C_2 *e^{-x}

Variation der Konstanten bedeutet:

C_1 =C_1(x) und C_2 =C_2(x)

---->

y_p =C_1(x) *e^x +C_2 (x) *e^{-x}

das mußt Du jetzt 2 Mal ableiten und in die Aufgabe einsetzen.

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Die Lösung erfolgt über die Wronski Determinante. Habt Ihr das gehabt?

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JA, das habe ich doch gelöst.

c1= x²/4 und c2=e^2x(2x-1)/8

und wenn man das jetzt in die Haubt bedingung: Y= c1*e^x + c2*e^-x einsetzt

bekommt man fur Y=(e^x(2x²-2x+1))8). das habe ich doch oben geschrieben

die zweite ableitung ist: y^ΙΙ= (e^x(2x²+6x+1))8 (VERTAUSCHE EINFACH t mit X)

und wenn man das jetzt in y^ΙΙ-y einsetzt bekommt man am ende das richtige ergebnis: t*e^t

Ich frage jetzt was ich mir dem y(1)=y^Ι(1)=1 tun soll

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Hallo

Es ist so, das in der Lösung C_1 und C_2 vorkommen.

Diese muß einmal abgeleitet werden , dann werden die beiden AWB eingesetzt und das ganze ausgerechnet.

Dann hast Du 2 Werte für C_1 und C_2 , die werden dann in die allg. Lösung eingesetzt.

Das ist alles.

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Ok halt, ich kapier einfach nicht wo und wie ich das einsetzen mus. in den DGLs erster ordnung gibt es Y(0)=1und dan setze ich fur alle y=0 und fur alle x=1 und dan bekomme ich am ende die konstante C raus. aber wie geht es jetzt hier bei DGLs zweiter ordnung?????also wie geht das jetzt mit: ich nehme:c1= x²/4 + C und ich vertausche c1 mit 1 und x mit 1??????? meinst du das???

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Die Lösung dieser DGL lautet:

y=C_1 *e^t +C_2 e^{-t} +(e^t *t)/4( t-1)

Das ist die allg. Lösung dieser Aufgabe.

Die AWB wird grundsätzlich zum Schluß eingesetzt.

Das bedeutet, Du mußt die allg. Lösung 1 mal ableiten und in die beiden Gleichungen

jeweils die AWBs einsetzen. Diese DGL -system mußt Du lösen.

Danach hast Du die beiden Werte für C_1 und C_2 und setzt diese in die allg. Lösung ein.

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wie zum henka (schreibt man das so?) hast du das bekommen??

wir haben hier zwei nullstellen (am anfang meine ich) t₁=1 und t₂= -1

und das setzt man in die Vorlaufige Losung ein die lautet:

Y= c₁*e^t + c₂*e^-t  ; woher kommt das +(e^t *t)/4( t-1) auf einmall her???

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Das mußt Du nun weiterrechnen mit Hilfe der Wronski Determinante.

Dann bekommst du die allg. Lösung.

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Ok ich habe das DGL gerade mit der Wronsky matrix gelost und immer noch sind mir die gleichen lösungen rausgekommen:

c₁= x²/4 + C und 

c₂=e^2x(2x-1)/8 + C

und das habe ich in die formel Y= c₁*e^t + c₂*e^-t  eingesetzt und dan kommt immer noch: Y=(e^x(2x²-2x+1))8) raus

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ich habe folgende Werte erhalten:

C_1 = e^2/8

C_2 = -(e-8)/8e

Wenn ich das in  die allg. Lösung einsetze , komme ich so auf meine Lösung.

ich habe übrignes mal die Probe gemacht, d. h die Lösung 2 mal abgeleitet und in die Aufgabe eingesetzt

und es stimmt.

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ja ich habe das gerade auch mit meinen werten gemacht und es kommt auch die richtige losung raus.

Ok jetzt kapiere ich nichts mer. wie haben 2 verschiedene werte raus doch am ende kommt trotzdem die gleiche losung raus. Wie auch immer. nehmen wir deine lösungen. wie machst du jetzt weiter mit y(1)=y^Ι(1)=1

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Die Lösung dieser DGL lautet:

y=C_1 *e^t +C_2 e^-t +(e^t *t)/4( t-1)

Das ist die allg. Lösung dieser Aufgabe.

Die AWB wird grundsätzlich zum Schluß eingesetzt.

Das bedeutet, Du mußt die allg. Lösung 1 mal ableiten und in die beiden Gleichungen

jeweils die AWBs einsetzen. Diese DGL -system mußt Du lösen.

Danach hast Du die beiden Werte für C_1 und C_2 und setzt diese in die allg. Lösung ein.

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Ich hab alles komplett gerechnet. Kann sein, das ein Schusselfehler drin ist.

Anders kenne ich den Weg nicht.  (Variation der Konstanten) .Wenn Du das jedoch anders gernt hast, dann sorry und bleib bei deinem Weg.

Aber vielleicht klärt mein Weg auf? (in 2 Teilen)

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Ja warte: ja ich habe die gleichen losungen bekommen. ja

c1(x) = t²/4 und c2(x) = e^2t(2t-1)/8

Une weiter hast du das in die formel c1 *e^t + c2*e^-t gesetzt.

Ok und wenn man das jetzt 2 mall ableitet und in die obrige formel y^ΙΙ - y einsetzt bekommt man die richtige lösung (t*e^t) . Das ist klar. doch was macht man danach?

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Hier der 2. Teil: