x hoch y= 5764801 und y hoch x = 2097152 __ Wir berechnet man das?

Question

x hoch y= 5764801 und y hoch x = 2097152

Es geht hier nicht um die Lösung sondern den Lösungsweg

also

x hoch y = zahl 1

y hoch x = zahl 2

Wie berechnet man x und y

Grüße

Michael

Answer 1

y=log(5764801)/log(x)

x=log(2097152)/log(y) in die erste einsetzen:

y=log(5764801)/log(log(2097152)/log(y))

y=log(5764801)/[log(3)+log(7)+log(log(2))+log(1/(log(y)))]

y=log(5764801)/log((21*log(2))/(log(y)))

0=y*log[(21*log(2))/(log(y))]-8*log(7)

y1=8 sieht man sofort, denn 0=8*log(7)-8*log(7)

y2=1.000002525096939838232085955371038222930355244434004117762204885028415909299957...

numerisch (stimmt mit 16 Nachkommastellen von log(7950940/85493)/log(93) überein, ist aber keine exakte Lösung !)

y3=2096925.389838947403630134613055606319018...

einfaches Newton-Verfahren online:

Nullstellenfunktion:

log(5764801)/log(log(2097152)/log(x))-x

oder x*log((21*log(2))/(log(x)))-8*log(7) (beide konvergieren)

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#log(5764801)/log(log(2097152)/log(x))-x@Na=0;@B0]=6;//Startwert@Nb=@Bi];a=@Bi+1]=b-Fx(b)/@Lb);@Ni%3E3@N1@N0@N# 

Comments

Hallo

erstmal danke für den ganzen Gehirnschmalz :-)

Das Beispiel konnte ich nachvollziehen, aber ich glaube, in meiner echten Aufgabe gibt es noch andere Probleme - die Größe der Zahlen

x^y = 9,5110669916292 * 10 hoch 1893353

y^x = 3,619126027003 x 10 hoch 1117393

Und da spinnen alle Rechner :-(

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zunächst danke für die 0 Punkte...

Zusatz mit selber Herangehensweise:

x^y = 9.5110669916292*10^1893353 -> y=log(9.5110669916292*10^1893353)/log(x)

y^x = 3.619126027003*10^1117393 ->x=log(3.619126027003*10^1117393)/log(y) in die erste einsetzen:

y=log(9.5110669916292*10^1893353)/log(log(3.619126027003*10^1117393)/log(y))

y=(4.35960864603162244812*10^6)/(log((2.5728937510484633733*10^6)/(log(y))))

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#(4.35960864603162244812e6)/(log((2.5728937510484633733e6)/(log(x))))-x@Na=0;@B0]=356987;//Startwert@Nb=@Bi];a=@Bi+1]=b-Fx(b)/@Lb);@Ni%3E4@N1@N0@Nc=@Q29);

y1=356987

x1=log(3.619126027003*10^1117393)/log(356987)=201236

Kontrolle mit http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php (pow(x,y):

201236^356987=9.5110669916292026130756840400908696561 e1893353

zum Tauschen von x und y gibt es eine extra Taste [x=y; y=x]:

356987^201236=3.6191260270031728739450822408932144117 e1117393

Answer 2

x^y = 5764801 --> y = LN(5764801)/LN(x)

y^x = 2097152 --> y = 2097152^{1/x}

Mache mal eine Wertetabelle oder skizziere die Grapen im Bereich von 0 bis 10.

Comments

vielen Dank, aber ....

Es ist doch dann

LN(5764801)/LN(x) =  2097152^1/x

Und wie löst man das nach X auf ?

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Ich bin mir nicht ganz sicher. Aber ich glaube das kann man nicht algebraisch lösen.

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"

Aber ich glaube das kann man nicht algebraisch lösen."

es ist nicht nur eine Frage des Glaubens:

die Aussage: " das kann man nicht algebraisch lösen"  ist sogar wahr ..

du kannst aber zB numerische Methoden bemühen ..

nebenbei:

es ist -> x=7 und -> y=8

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