Eigenwerte von diagonaliserbaren Matrizen

Question

Hab hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme:

Sei \(A\in\mathbb{C}^{(n,n)}\) mit \(n\in\mathbb{N}\) verschiedenen Eigenwerten. Zeige für \(B\in\mathbb{C}^{(n,n)}\) mit \(AB=BA\) gilt:

\(B=b_{0}\mathbb{1}+b_1A+b_2A^2+...+b_{n-1}A^{n-1}\) mit \(b_0, b_1,..., b_{n-1}\in\mathbb{C}\)

Ich soll es zuerst für Diagonalmatrizen zeigen und dann verallgemeinern.

Dass die Matrix A n verschiedene Eigenwerte hat, ist ja äquivalent dazu, dass sie diagonalisierbar ist. Jedoch komme ich da nicht weiter, hab auch versucht die Gleichung \(AB=BA\) nach B umzuformen.

Danke.

Answer 1

Hi,
sei D eine Diagonalmatrix. Dann gilt, falls \( DB = BD \) gilt,
$$ (1) \quad (DB)_{ij} = (BD)_{ij} $$ für alle \(i\) und \(j\), weiter gilt dann
$$ (2) \quad (DB)_{ij} = D_{ii}B_{ij} = (BD)_{ij} = B_{ij}D_{jj} $$ also
$$ (3) \quad (D_{ii} - D_{jj}) B_{ij} = 0  $$ also gilt für \( i \ne j \)
$$ (4) \quad B_{ij} = 0  $$ weil \( D_{ii} \ne D_{jj}  \) gilt. Also ist B eine Diagonalmatrix.
Zu zeigen ist also, dass es Koeffizienten \( b_k \) gibt s.d. gilt
$$ (5) \quad B = \sum_{k=0}^{n-1} b_k D^k $$
(5) kann umgestellt werden zu
$$ (6) \quad \begin{pmatrix} B_{11} \\ \dots \\ B_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  1 & D_{11} & \dots & D_{11}^{n-1} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & D_{nn} & \dots & D_{nn}^{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_0 \\ \dots \\ b_{n-1} \end{pmatrix} $$
wobei die auftretende Matrix $$  V = \begin{pmatrix}  1 & D_{11} & \dots & D_{11}^{n-1} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & D_{nn} & \dots & D_{nn}^{n-1} \end{pmatrix} $$ eine Vandermode Matrix ist, die genau dann invertierbar ist, wenn die Elemente \( D_{ii} \) paarweise verschieden sind, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Vandermonde-Matrix
was in dieser Aufgabe der Fall ist. Also existiert die Inverse und man hat die Koeffizienten \( b_k \) gefunden zu

$$  \begin{pmatrix} b_0 \\ \dots \\ b_{n-1} \end{pmatrix} = V^{-1} \begin{pmatrix} B_{11} \\ \dots \\ B_{nn} \end{pmatrix} $$
Hat man im allg. eine Matrix \( A \) mit verschiedenen Eigenwerten, ist \( A \) diagonalisierbar und es gibt eine Matrix \( T \) mit
$$ (6) \quad A = TDT^{-1}  $$ und \( D \) ist diagonal.
Also gilt wegen \( AB =BA \)
$$ TDT^{-1}B = BTDT^{-1}  $$ Daraus folgt \( DT^{-1}BT = T^{-1}BTD  \)
Damit gibt es Zahlen \( b_k \) mit $$  T^{-1}BT = \sum_{k=0}^{n-1}b_kD^k = T^{-1}\left( \sum_{k=0}^{n-1} b_k A^k \right) T  $$ und deshalb
$$ B = \sum_{k=0}^{n-1} b_k A^k $$