2^x = 0.25. x im Exponenten ohne Logarithmus ermitteln. Exponentialgleichung

Question

Ermitteln Sie die Lösungen in R...Rationalen Zahlen, ohne Logarithmus:

b.) 2^x=0,25

1010.b.)

Nun soll ich doch herausfinden, womit ich die "2" auf der linken Seite exponentieren muss, (a^u=a^v.......u=v) damit die allgemeine Bedingung für eine Exponentialgleichung, mit gleicher Basis erfüllt sei.

Damit auf der linken Seite 0,25 herauskommt, muss ich demnach folgendes rechnen:

R: 2^x=0,25

2^x=..............  jetzt stehe ich an.

Wie komme ich darauf womit ich die 2 exponieren muss?

Ich denke mir, dass ich mir da immer ein Intervall von etwa -2 bis +2 hernehme und die in 0,5 er Schritten durchprobiere. Noch immer ohne Logarithmus.

Jedoch würde ich mich gerne auf eine sicherere Methode stützen aber die gibt es wohl nicht oder??

Ich dachte mir auch schon, dass ich vorher den Logarithmus heranziehe:

R: 2^x=0,25

$$x= \log _{ 2 }{ 0,25 } $$

und nachdem mein TR keine lb-Taste für den binären Log. hat:

$$ \frac { log(0,25) }{log(2) }=-2 $$

Damit hätte ich was ich gesucht hatte.

Problem: Wenn nun der Weg dort hin gefragt wäre, ohne den Logarithmus erwähnen zu dürfen müsste ich etwas anderes als Raten angeben können oder?

Ps.: Worauf ich hinaus will ist, ob man es mit Potenzregeln hinbekommt?

Comments

c.) 2^x=1

R:

2^x=1

2^x=1^0

x=0

Was anderes geht da eh nicht oder?

---

d.)

$$2x= \sqrt [ 3 ]{ 4} $$

$$ { 2 }^{ x/1 }= \sqrt [ 3 ]{ 4}^1  $$

$$ { 2}^{ x} ={ 4 }^{ 1/3 } $$

$$ { 2 }^{ x }=1,33 $$

Was muss ich jetzt machen sofern ich bis jetzt richtig gerechhnet habe?

Einfach das Gegenteil von 2^x nehmen oder also x^1/2.

---

Mit Potenzregeln allein kannst du nichts mehr machen, sobald du rundest.

1.33 ist daher unbrauchbar.

Mathecoach hat dir doch vorgerechnet, wie du das mit Potenzregeln hinbekommst.

Seine Methode nennt man übrigens Exponentenvergleich.

---

R:

$${ 2 }^{ x }= \sqrt [ 3 ]{ 4 } $$

$${ 2 }^{ x }= { 4}^{ 1/3}$$

$${ 2 }^{ x }={ 4 }^{ -3 }$$

$${ x }=-3$$

In der Lösung steht +3 stimmt mein Ergebnis den nicht?

.

---

Exponenten darfst du nur vergleichen, wenn die Basen gleich sind.

Du musst 4 = 2^2 benutzen.

---

Bitte. Gern geschehen!

---

$$ GL...{ 25 }^{ x }=\frac { 1 }{ 125} $$

$${ 25 }^{ x }={ 125 }^{ -1 }..../*lg$$

$$lg25*x=lg*125 ..../:lg25$$

$$x=\frac { lg125 }{ lg25 }*-1$$

x=-1,5

Stimmt das mit dem -1 so.

Der Logarithmus ist bei Minus nicht definiert aber das interessiert mich bei der Bestimmung der Lösungsmenge dieser Gleichung auch?!

---

Satz: Spezielle Logarithmen:

$$\log _{ a }{ (1/a)=-1 }$$

Ich hoffe das passt so.

Begründung:

$$\log _{ a }{ (1/a)=-1 } --> { a }^{ -1 }=\frac { 1 }{ a }$$

---

1/a = a^{-1}

log (1/a) = log (a^{-1}) = - log(a)             Gilt für beliebige Basis.

Wegen

log_(a) (a) = 1

folgt nun

log_(a) (1/a) = -1

Aber du solltest ja ohne Logarithmus rechnen!

25^x = 1/125

25 = 5^2

125 = 5^3

1/125 = 5^{-3}

Nun deine Gleichung:

25^x = 1/125

5^{2x} = 5^{-3}

2x = -3

x = -3/2 = -1.5 

---

Verzeihung, bin bei einem anderen Beispiel.

Habe ich durch die Kommentare vergessen zu erwähnen.

---

Gib besser neue Fragen ein, dann sehen das andere auch und du musst nicht so lang warten.

Dein Resultat stimmt zwar. Aber nachher hast du dort ein Mal, das da nicht stehen sollte.

25^x = 125^{-1}      | lg

lg(25^x) = lg(125^{-1})

x*lg(25) = -1*lg(125)

x = -1*lg(125)/lg(25) = -1.5

Answer 1

2^x = 0.25

2^x = 1/4

2^x = 1/2^2

2^x = 2^{-2}

x = -2

Answer 2

Das geht doch , schau dir die Aufgabe genau an !

2^x = 0,25 -----> also 2^1/8  = 0,25 .

Answer 3

2^x = 0.25
2^x = 1/4

4 * 2^x = 1
2^2 * 2^x = 1
2 ^{2+x} = 1  | Hinweis 2^0 = 1
2+x = 0
x = -2