Wie zeige ich, dass jeder K-Vektorraum auf geeignete Weise zu einem U-Vektorraum wird?

Question

Aufgabe:

Es sei ein Körper \( K \) gegeben. Ein Unterkörper von \( K \) ist ein Körper \( U \) derart, dass die unterliegende Menge von \( U \) eine Teilmenge von \( K \) ist, und so, dass für \( u, u^{\prime} \in U \) stets

\( \begin{aligned} u+{ }^{U} u^{\prime} &=u+{ }^{K} u^{\prime} \\ u^{U} u^{\prime} &=u^{K} u^{\prime} \end{aligned} \)

gilt.

Nun sei ein Unterkörper \( U \) von \( K \) gegeben.

Ansatz/Problem:

Wie zeige ich, dass jeder K-Vektorraum auf geeignete Weise zu einem U-Vektorraum wird?

Answer 1

da musst du halt auch eine geeignete Addition und S-Multiplikation

definieren.
Addition findet ja nur in V statt, bleibt also unberührt und
S-Multiplikationist für a aus K und v aus V ja im Vektorraum V

definiert und wird bei Betrachtung als U Vektorraum eben

als Einschränkung definiert für a aus und v aus V

gilt ja auch a aus K und v aus V also

a*v definiert wie im K-Vektorraum.

Die einschlägigen Axiome muss man jetzt alle nachprüfen, ist

aber im Prizip nur Schreibarbeit.

Comments

Stimmt das so? 

Sei u,u' ∈ U dann erhalten wir für die Addition eine definierte Abbildung:
+^{U} : UxU -->U, (u,u') I--> u +^{V} u'

und da für a∈K, u∈U stets a_( *)^V u ∈ U ist, erhalten wir für die S-Multiplikation eine definierte Abbildung 

_(*)^U: KxU-->U, (a,u)I-->a_( *)^V u

Nun prüfen wir die Axiome:

(1) Assoziativität der Addition. Für u,u',u'' ∈U ist

u +^U (u' +^U u'') = u+^V(u' +^{V} +u'') = (u +^{V} +u')+^{V} +u'' = (u +^{U} u') +^{U}  u'' .

usw. für die anderen Axiome.. ist es denn soweit in Ordnung?