Ableitung: Wieso wird aus 2/x-a/x^2=0 ein Bruchstrich?

Question

Extrem- und Wendepunkte ermitteln

Zur Berechnung der Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte benötigst du die ersten drei Ableitungen.

\( \begin{array}{l} f_{a}^{\prime}(x)=\frac{2}{x}-\frac{a}{x^{2}}=2 x^{-1}-a \cdot x^{-2} \\ f_{a}^{\prime \prime}(x)=-2 x^{-2}+2 a \cdot x^{-3}=-\frac{2}{x^{2}}+\frac{2 a}{x^{3}} \\ f_{a}^{\prime \prime \prime}(x)=4 x^{-3}-6 a \cdot x^{-4}=\frac{4}{x^{3}}-\frac{6 a}{x^{4}} \end{array} \)

1. Schritt: Extrempunkte ermitteln

Aus der notwendigen Bedingung \( f_{a}^{\prime}(x)=0 \) folgt:

\( \frac{2}{x}-\frac{a}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow \frac{2 x-a}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow 2 x-a=0 \Leftrightarrow x=\frac{a}{2} \)

Da laut Aufgabenstellung \( x \in \mathbf{R}^{+} \), gibt es folglich für \( a \leq 0 \) keine Extremwerte, weil sie außerhalb des Definitionsbereichs liegen.

Für \( a>0 \) besitzt \( f_{a} \) eine mögliche Extremstelle bei \( x=\frac{a}{2} \). Wir prüfen die hinreichende Bedingung:

\( f_{a}^{\prime \prime}\left(\frac{a}{2}\right)=-\frac{2}{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}+\frac{2 a}{\left(\frac{a}{2}\right)^{3}}=-\frac{8}{a^{2}}+\frac{16}{a^{2}}=\frac{8}{a^{2}}>0: \) Minimum

Ansatz/Problem:

Wie kommt man auf den ersten Schritt? Wieso wird aus 2/x-a/x^2=0 ein Bruchstrich?

Answer 1

Wieso wird aus 2/x-a/x²=0 ein Bruchstrich ?

Ein Bruch ist genau dann 0, wenn der Zähler 0 ist und der Nenner nicht auch gerade noch 0 ist.

D.h. Es interessiert dich bei Bruchtermen als Erstes der Zähler, wenn du seine Nullstellen suchst (hier die Nullstellen der Ableitung). Daher musst du den linken Term auf einen Bruchstrich bringen (Bruchaddition). 

Answer 2

2/x - a/x^2 = 0

Dieses ist eine Bruchgleichung. Da x nicht 0 sein darf könntest du auch mit dem Hauptnenner x^2 multiplizieren

2/x * x^2 - a/x^2 * x^2 = 0 * x^2

2x - a = 0

Das würde also quasi dem auf einen Bruchstrich bringen und dann nur den Zähler betrachten entsprechen.

Answer 3

Wieso wird aus
2/x-a/x²=0 ein Bruchstrich ?
( 2x - a ) / x^2 = 0

Der erste Bruch wurde mit x / x erweitert.
2/x * ( x / x ) = ( 2 * x ) / ( x^2 )
und dann
( 2 * x ) / x^2  - a / x^2 = 0  | Hauptnenner ist nunmehr vorhanden
( 2x - a ) / x^2 = 0