Zeigen Sie, dass die Schnittmenge von G_{1} und G_{2} und die Schnittmenge von G_{1} und G_{3} gleich sind.

Question

Aufgabe:

Die zwei Geraden \( G_{1} \) und \( G_{2} \) im \( \mathbb{R}^{2} \) seien durch die folgenden linearen Gleichungen gegeben:

\( \begin{array}{ll} G_{1}: & a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}=b \\ G_{2}: & c_{1} x_{1}+c_{2} x_{2}=d \end{array} \)

mit \( \left(a_{1}, a_{2}\right) \neq(0,0),\left(c_{1}, c_{2}\right) \neq(0,0) \). Wir konstruieren nun eine Gerade \( G_{3} \), indem wir für ein \( \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq 0 \) das \( \lambda \)-fache der ersten Gleichung auf die Zweite addieren:

\( G_{3}:\left(c_{1}+\lambda a_{1}\right) x_{1}+\left(c_{2}+\lambda a_{2}\right) x_{2}=d+\lambda b \)

Zeigen Sie, dass die Schnittmenge von \( G_{1} \) und \( G_{2} \) und die Schnittmenge von \( G_{1} \) und \( G_{3} \) gleich sind.

Answer 1

\( G_1: a_1 x_1+a_2 x_2=b \Rightarrow x_1=\frac{b-a_2 x_2}{a_1}, \text{ wenn } a_1 \neq 0 \\ G_2: c_1 x_1 +c_2 x_2 =d \Rightarrow c_1 \frac{b-a_2 x_2}{a_1}+c_2 x_2 =d \Rightarrow \frac{bc_1}{a_1}+\left(c_2-\frac{c_1 a_2}{a_1}\right)x_2=d \Rightarrow x_2=\frac{d- \frac{bc_1}{a_1}}{c_2-\frac{c_1 a_2}{a_1}} \\ \text{ Die Schnittpunkte von } G_1 \text{ und } G_2 \text{ sind } (x_1, x_2) =\left(\frac{b-a_2 x_2}{a_1},\frac{d- \frac{bc_1}{a_1}}{c_2-\frac{c_1 a_2}{a_1}}\right) \)

\( G_1: a_1 x_1+a_2 x_2=b \Rightarrow x_1=\frac{b-a_2 x_2}{a_1}, \text{ wenn } a_1 \neq 0  \\  G_3: (c_1 +\lambda a_1) x_1 + (c_2 +\lambda a_2 ) x_2 =d +\lambda b\Rightarrow (c_1 +\lambda a_1) \frac{b-a_2 x_2}{a_1} + (c_2 +\lambda a_2 ) x_2 =d +\lambda b \Rightarrow \frac{c_1 b}{a_1}+\lambda b+ \left(c_2 +\lambda a_2 -\frac{c_1 a_2}{a_1}-\lambda  a_2 \right) x_2=d +\lambda b \\ \Rightarrow \frac{c_1 b}{a_1}+ \left(c_2  -\frac{c_1 a_2 }{a_1}\right) x_2=d \Rightarrow x_2=\frac{d-\frac{c_1 b}{a_1}}{c_2  -\frac{c_1 a_2 }{a_1}} \\ \text{ Die Schnittpunkte von } G_1 \text{ und } G_3 \text{ sind } (x_1, x_2) =\left(\frac{b-a_2 x_2}{a_1},\frac{d- \frac{bc_1}{a_1}}{c_2-\frac{c_1 a_2}{a_1}}\right) \)