Zeigen Sie, dass 1/d als endlicher Dezimalbruch dargestellt werden kann.

Question

Aufgabe:

Sei \( d \in \mathbb{N} \) ein Teiler von \( 10^{k} \) für ein \( k \in \mathbb{N} \)

Zeigen Sie, dass \( \frac{1}{d} \) als endlicher Dezimalbruch dargestellt werden kann.

Answer 1

Laut Aufgabenstellung treten in der Primfaktorzerlegung von d nur 2-en und 5-en auf, dass heißt

$$ d=2^n\cdot5^m; n,m\inℕ$$

(man beachte, dass n=m=0 möglich ist, dann gilt nämlich d=0)

Weiter sei:

$$k:=max(n,m)$$

Daher folgt

$$ \frac { 1 }{ d }=\frac { x }{ 10^k }; x\inℕ$$

mit einem gewissen natürlichen x. Und dieser Dezimalbruch hat offensichtlich eine endliche Dezimaldarstellung, da er durch Verschiebung des Kommas um k Stellen aus einer natürlichen Zahl entsteht. Dies beweist die Behauptung.