Aufgabe 1:
Wir definieren eine Abbildung \( d: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
\( d\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right):=\left\{\begin{array}{ll} \left|y_{1}-y_{2}\right|, & \text { falls } x_{1}=x_{2} \\ \left|y_{1}\right|+\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{2}\right|, & \text { falls } x_{1} \neq x_{2} \end{array}\right. \)
Aufgabe 4:
Für die Menge \( M:=\{(t, 2) \mid 0<t<2\} \) geben Sie die folgenden Mengen an (alles bezüglich \( d \) ):
(a) Die Menge \( \operatorname{Ber}(M) \) der Berührpunkte von \( M \).
(b) Die Menge HP \( (M) \) der Häufungspunkte von \( M \).
(c) Die Menge \( M^{\circ} \) der inneren Punkte von \( M \).
(d) Den Rand \( \partial M \).
Aufgabe 5:
Berechnen Sie den Durchmesser (diameter) von \( M \) nach der Formel
\( \operatorname{diam}(M):=\sup _{a, b \in M} d(a, b) \)
Ansatz/Problem:
Laut Definition sind Berührpunkte ein Punkt in einer Menge in dessen nähe unendlich viele Punkte der Menge sind.
Das klingt für mich irgendwie nach der offenen Kugel, da man da ja auch Mengen angibt kleiner r.
Oder laut Definition: x sind Häufungspunkte von einer Menge, falls in der Umgebung von x ein von x verschiedener Punkt der Menge liegt. Wie habe ich mir das vorzustellen?
