Behauptung: Die Summer einer irrationalen Zahl i...

Question

Behauptung: Die Summe einer irrationalen Zahl i und einer rationalen Zahl r ist eine irrationale Zahl Z. Beweise die Behauptung durch einen Widerspruchsbeweis.

Annahme: Z ist rational, also ein Bruch

Ich verstehe diese Aufgabe leider nicht, könnte mir jemand bitte helfen? Danke

Answer 1

Sei r=p/q rational. Angenommen, Z=r+i wäre rational, also Z=s/t mit ganzzahligem s und natürlichem t. Dann gilt aber s/t=(p/q)+i, also i=(s/t)-(p/q)=(sq-pt)/(qt). Daher ist i rational, Widerspruch. Der Widerspruch beweist die Behauuptung.