Grenzwerte einer Reihe in Abhängigkeit vom Parameter: (alpha/4)^n + (-3/4)^n

Question

Aufgabe Grenzwerte:

In Abhängigkeit vom Parameter \( \alpha \in \mathbb{R} \) ist die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{n}=\frac{\alpha^{n}+(-3)^{n}}{4^{n}} \) gegeben.

Für welche \( \alpha \) konvergiert die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} ? \) Was ist in diesem Fall der Wert der Reihe.

Ansatz/Problem:

Habe die Gleichung vereinfacht zu: (α/4)^n + (-3/4)^n  <1

Jetzt komme ich nicht weiter.

Answer 1

Betrachte die Summanden separat.

Der 2. ist eine geometrische Reihe.

Der 1. ist eine geometrische Reihe, wenn |a| < 4; divergiert, wenn |a| > 4.

Rand a=4 und a=-4 noch separat ansehen.