Hier führt man am besten einen Widerspruchsbeweis.
Nimm an, dass √2 eine rationale Zahl ist, dass also √2 = p/q gilt, wobei dieser Bruch maximal gekürzt sei, insbesondere sind also beide Zahlen ganz und nicht beide gerade.
Dann gilt:
(√2)2 = 2 = p^2/q^2
p^2 = 2*q^2
Also ist p^2 eine gerade Zahl und damit auch p.
Wenn p eine gerade Zahl ist, dann existiert eine ganze Zahl k mit der Eigenschaft p = 2*k.
Setzt man das in die letzte Gleichung ein, erhält man
(2*k)^2 = 2*q^2
4*k^2 = 2*q^2
⇒q^2 = 2*k^2
Damit ist also q^2 und somit auch q eine gerade Zahl, was unserer Annahme widerspricht.
Also ist √2 irrational.
