Beweisen Sie, dass die Zahl 3 + 3. Wurzel von 3 irrational ist

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Zahl 3 + 3. Wurzel von 3 irrational ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß wie man z.B. bei √2 beweisen könnte, dass sie irrational ist.

Aber ich komme mit der Aufgabe gar nicht klar.

Mein einziger Ansatz bisher war:

Ich weiß nicht wie man die 3 über die Wurzel hinzufügt, deswegen denkt euch die am besten hinzu.

3 + √3 = p/q   | -3

√3  = p/3 - 3    | (...)³

3 = p³/q³ - 27

das war bisher mein Ansatz, aber ich glaube selbst dieser ist schon falsch :/

Answer 1

Bei dem "hoch 3 nehmen" musst du die binomische Formel für hoch 3

4verwenden.   Besser aber vielleicht besser so:

Wäre 3 + \( \sqrt[3]{3} \) rational so auch die Differenz mit der rationalen Zahl 3,

also wäre dann auch \( \sqrt[3]{3} \) rational.

Dazu dann der Ansatz :  Seien p und q teilerfremd

und            (p/q) ^3 = 3

               <=>     p^3 / q^3  = 3

              <=>    p^3 =   3 * q^3

==>  Die Primfaktorzerlegung von p^3 enthält eine 3;

denn die von q (und damit auch die von q^3) enthält keine 3

==>    Die Primfaktorzerlegung von p enthält eine 3.

==>   Die Primfaktorzerlegung von p^3 enthält mindestens 3 Dreien.

Dann müsste aber wegen # das Produkt   3 * q^3  auch mindestens

3 Dreien enthalten, also auch die Primfaktorzerlegung von q

mindestens eine 3. Widerspruch zu : p und q teilerfremd.

Answer 2

Ich habe deinen Ansatz korrigiert:

3 + √3 = p/q | -3 (Diese Zeile habe ich von dir übernommen. Bitte prüfen!)

√3  = p/q - 3    | (...)²

3 = (p/q - 3))²=p²/q²-3p/q+9

Ich persönlich würde den folgenden Satz (unbewiesen) verwenden: Die Summe einer natürlichen Zahl und einer irrationalen Zahl ist irrational und dann beweisen, dass √3 irrational ist.

Comments

Gemeint ist 3 + ∛3.