Beweis der Unstetigkeit einer mehrdimensionalen Funktion

Question

Ich weiß bei folgender Aufgabe nicht so recht wie sie funktioniert bzw. bin mir nicht sicher:

Es soll bewiesen werden, dass ∀a∈ℝ die Funktion f_a: ℝ² → ℝ in (0,0) nicht stetig ist:

$$ f _ { a } ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c l } { \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , } & { ( x , y ) \neq ( 0,0 ) } \\ { a , ( x , y ) } & { = ( 0,0 ) } \end{array} \right. $$

Jetzt habe ich mir Folgendes gedacht:

Ich muss schauen, ob f_a(x,y) für (x,y) ≠ (0,0) gegen Null geht. Ich setze x=y, dann folgt:

$$ \frac { x\cdot (x) }{ x²+(x)² } =\frac { x² }{ x²+x² } =\frac { 1 }{ 2 } \nrightarrow 0\quad für\quad (x,y)\quad \neq \quad (0,0) $$

Es geht nicht gegen Null und somit ist die Funktion f_a nicht stetig in (0,0).

Answer 1

Du musst zeigen, dass \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)\neq f(0,0)=a\). Das was du gemacht hast, ist nicht komplett falsch, aber es reicht nicht. Außerdem schaut man nicht, ob der Termgegen 0 gehen, denn \(a\) ist ja eine beliebige reelle Zahl und man schaut, ob er gegen \(a\) geht.

Wegen \(a\in \mathbb{R} \) musst du zeigen, dass dieser Grenzwert überhaupt nicht existiert, denn du sollst es ja für alle \(a\) zeigen.

Du musst dich aus zwei verschiedenen Richtungen annähern und zeigen, dass in beiden Fällen unabhängig von \(a\) ein jeweils anderes Ergebnis rauskommt und somit der Grenzwert nicht existieren kann. Falls du nicht siehst, aus welchen Richtungen du dich nähern solltest, schau dir mal einen Plot der Funktion an, dann sieht man es sofort.

Comments

Achso okay,

ich komme aus zwei verschiedenen Richtungen und erhalte somit zwei verschiedene Grenzwerte. Und durch die Eindeutigkeit des Grenzwertes ist dann die Stetigkeit in (0,0) widerlegt?

In meinem Beispiel oben wäre es noch nicht zu sagen, ob es stetig ist, wenn ich für a = 1/2 wählen würde, oder?

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Genau. Im eindimensionalen gibt es ja den links- und rechtsseitigen Grenzwert und wenn diese beiden gleich sind, so sagt man, dass der Grenzwert existiert.

Im mehrdimensionalen kannst du dich eben nicht nur von rechts und links sondern auch diagonal, spiralförmig etc. annähern und bei jeder Annäherung muss das selbe rauskommen, nur dann existiert der Grenzwert.

In deinem Beispiel ist es so wie du sagst: Es könnte sein, dass für \(a=\frac{1}{2}\) Stetigkeit vorliegt, aber nur wenn der Grenzwert wirklich \(\frac{1}{2}\) ist. Wenn du dich aus einer anderen Richtung näherst und z.B. \(-\frac{1}{2}\) rauskriegst, hast du die Stetigkeit für alle \(a\) schon widerlegt, da es für \((x,y)\rightarrow(0,0)\) einfach keinen Grenzwert gibt.

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Das habe ich beim Plotten der Funktion auch gesehen. In die eine Richtung geht es nach 1/2 und in die andere nach -1/2 . :)

Jetzt weiß ich zum Beispiel, dass man sich auch eine Hilfsfunktion bauen kann, damit man weiß wohin das ganze geht.

Nun kann man sich ja bespielsweise eine Folge a_n = 1 / n wählen und diese dann in die Funktion einsetzten.

$$f\left( \frac { 1 }{ n } ,\frac { 1 }{ n }  \right) =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \frac { 1 }{ n } \cdot \frac { 1 }{ n }  }{ \left( \frac { 1 }{ n }  \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ n }  \right) ^{ 2 } }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \frac { 1 }{ n² }  }{ \frac { 2 }{ n² }  } =\frac { 1 }{ 2 }  } \quad $$

Die Folge a_n geht ja gegen Null genau wie (x,y) → (0,0)

Kann ich dann nicht auch eine zweite Folge konstruieren, sodass folgendes gilt:

$$f\left( -\frac { 1 }{ n } ,\frac { 1 }{ n }  \right) =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \frac { -1 }{ n } \cdot \frac { 1 }{ n }  }{ \left( -\frac { 1 }{ n }  \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ n }  \right) ^{ 2 } }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { -\frac { 1 }{ n² }  }{ \frac { 2 }{ n² }  } =-\frac { 1 }{ 2 }  } \quad $$

Die zweite konstruierte Folge geht ja auch gegen Null. Darf man das so einfach machen? Weil so hätte ich ja rein theoretisch zwei verschiedene "Grenzwerte" heraus. :)

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Jap, im Prinzip machst du dort genau das selbe :) Man nutzt das sogenannte Folgenkriterium aus.