differenzenquotient in möglichst einfache form bringen

Question

Hallo miteinander :)

In der schule behandeln wir momentan funktionen und damot den differenzenquotienten.

Nun stellen sich mir Aufgaben, die mir Kopfzerbrechen bereiten.

Ich muss den differenzenquotienten mit der funktion f:x->y in der umgebung von x=a bilden und ihn dann in möglichst einfache Form bringen

a) y= x^3

b) y= (2x+1)^2

c)y= 1/x^2

Ich wäre jetzt von der Grundform: y=mx+q ausgegange und für den differenzenquotienten hätte ich die formel: ((f(x+h)-(f(x)))/h genommen.

Wie gehe ich am besten vor? :)

Answer 1

a) y= x³

((x+h)^3 - x^3) / h
= (x^3 + 3·h·x^2 + 3·h^2·x + h^3 - x^3) / h
= 3·x^2 + 3·h·x + h^2

b) y= (2x+1)² = 4·x^2 + 4·x + 1

(4·(x + h)^2 + 4·(x + h) + 1 - (4·x^2 + 4·x + 1)) / h
= (4·x^2 + 8·h·x + 4·h^2 + 4·x + 4·h + 1 - 4·x^2 - 4·x - 1) / h
= (8·h·x + 4·h^2 + 4·h) / h
= 8·x + 4·h + 4

c)y= 1/x²

(1/(x + h)^2 - 1/x^2) / h
= (x^2/(x^2·(x + h)^2) - (x + h)^2/(x^2·(x + h)^2)) / h
= ((x^2 - (x + h)^2) / (x^2·(x + h)^2)) / h
= ((x^2 - (x + h)^2)) / (h·x^2·(x + h)^2)
= (- 2·h·x - h^2) / (h·x^2·(x + h)^2)
= - (2·x + h) / (x^2·(x + h)^2)

Comments

Vielen herzlichen Dank für die schnelle Antwort!!

Ich verstehe meinen fehler nun :))

Answer 2

Hier eine Berechnung mit Skizze

Comments

Auch ihnen vielen lieben dank!

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Gern geschehen.
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