Wie muss die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?

Question

habe eine Aufgabe in Mathe aufbekommen, mit der ich nicht so ganz klar komme...

Wie muss die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?

Die Vektoren sind (a, -3, 5), (1, -a, 2) und (-2, -2, 2a) → Sorry, weiß leider nicht wie man das richtig schreibt :/

Dann packt man diese Vektoren ja in eine Matrix, so dass man die drei Vektoren nebeneinander hat und am Ende eine Spalte mit (0, 0, 0).

Nach Gauß muss dann ja unten ein Dreieck mit Nullen entstehen. Also in der ersten Spalte die unteren beiden Zeilen und in der zweiten Spalte die unterste Zeile.

Damit die Vektoren linear abhängig sind, muss in der dritten Spalte in der untersten Zeile ebenfalls eine 0 stehen. So haben wir es bisher in Mathe gemacht.

Nur ich weiß jetzt nicht, wie ich das so auflösen kann, damit das klappt... Hoffe ihr könnt mir helfen :)

Matthias

Answer 1

DET([a, 1, -2; -3, -a, -2; 5, 2, 2·a]) = 2·(1 - a^3) = 0

Für a = 1 sind die Vektoren linear abhängig.

Comments

Und wie komm ich dann unten auf diese Dreieck mit den Nullen?

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Das macht man über das Gauss-Verfahren.

[a, 1, -2, 0]
[-3, -a, -2, 0]
[5, 2, 2·a, 0]

a*II + 3*I ; a*III - 5*I

[a, 1, -2, 0]
[0, 3 - a^2, - 2·a - 6, 0]
[0, 2·a - 5, 2·a^2 + 10, 0]

(3-a^2)*III - (2·a - 5)*II

[a, 1, -2, 0]
[0, 3 - a^2, - 2·a - 6, 0]
[0, 0, 2·a·(1 - a^3), 0]

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Auf die Idee, dass man das auch mit a multiplizieren kann, wäre ich gar nicht gekommen :D:)