Wie muss a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind? (Gleichungssystem mit 3 Variablen)

Question

wie muss a (a∈ℝ) gewählt werden, damit die Vektoren

a₁=(-2,-2,2a) a₂=(a,-3,5) und a₃=(1,-a,2) linear abhängig sind.

So ich komme dann im weiteren Verlauf auf 3 Gleichungen:

1. -2=as+t

2. -2=-3s-at

3. 2a=5s+2t

Doch wie löse ich jetzt das Gleichungssystem...ich würde sagen es ist ziemlich aufwendig und ich bin bis jetzt zu keiner Lösung gekommen. Wie löse ich das Gleichungssystem mit 3 Variablen? Gibt's da einen Trick? :D

Comments

Du könntest auch die 3 Vektoren vertikal (senkrecht) in ein Koordinatensystem schreiben und dann die Determinante der Matrix 0 setzen.

So kannst du die Parameter s und t vermeiden.

---

Okay ehm danke erstmal - aber mit Determinate etc kann ich leider jetzt nicht viel anfangen...

---

Was hast du denn raus als Determinante?

Gib den "Term = 0 " einfach mal hier ein: https://www.wolframalpha.com/

Dann solltest du zumindest die Resultate deiner Aufgabe zu sehen bekommen.

Answer 1

du kannst natürlich auch das Gleichungssystem lösen:

Betrachte zuerst nur die ersten beiden Gleichungen.

Löst man diese nach s und t (z.B mit Gleichsetzungsverfahren) erhält man

s=-2(a+1)/(a^2-3)

t=2*(a+3)/(a^2-3)

Setze diese Lösungen in die 3te Gleichung ein!

Nachdem man mit (a^2-3) multipliziert und vereinfacht erhält man

a^3=1

---> a=1

Comments

Super, war für mich jetzt die nützlichste Antwort!

Answer 2

Hallo Leni,

Determinanten werden in der Schule oft nicht behandelt.

Wenn du schon einmal etwas von Kreuzprodukt (Vektorprodukt) und Skalarprodukt im ℝ³ gehört hast, kannst du das "Spatprodukt" ausrechnen:

( \(\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2a \end{pmatrix}\)  x \(\begin{pmatrix} a \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}\) )  • \(\begin{pmatrix} 1 \\ -a \\ 2 \end{pmatrix}\)  =  2·(1 - a³)  

Dieses ist genau dann gleich 0 , wenn die Vektoren linear abhängig sind:

2 · (1-a³) = 0  ⇔  a³ = 1 ⇔  a = 1

---------------------

Bei deinem Lösungsversuch

versuchst du den 1. Vektor als Linearkombination der beiden anderen darzustellen. Das kann natürlich funktionieren, muss aber nicht (auch bei linearer Abhängigkeit).

Bei linearer Abhängigkeit muss sich nämlich nur irgendeiner der 3 Vektoren als LK der beiden anderen darstellen lassen.

Stattdessen kannst du mit festem a  für das LGS 

-2r+as+t=0  und   -2r-3s-at=0   und   2ar+5s+2t=0

mit Hilfe des Gauß-Algorithmus überprüfen, für welche a es Lösungen (r,s,t) ≠ (0,0,0) gibt.

Gruß Wolfgang

Comments

Wir hatten in der Schule bis jetzt weder Skalarprodukt noch habe ich schon mal was vom Gauß-Algorithmus gehört... :(  Das kommt erst in den nächsten Stunden denke ich, jedoch wollte man uns wohl erstmal den schweren Weg zum Ziel zeigen. :D

---

Es ist halt immer schlecht, wenn man nicht weiß was die Fragesteller(innen) schon wissen :-)

Lies es dir später wieder durch.

Answer 3

Ich bekomme als Determinate -2*(a^3 - 1 ) raus.Also linear abhängig für a=1.