Analysis 1 Vollständige Induktion: 3^ 2^ n -1 ist durch 2^{n+2} teilbar, Beweis?

Question

3^{2^n}  -1 ist durch 2ⁿ⁺²  teilbar, beweis?

 

Eventuell präziser:

3 ^{2^ n}  -1 ist durch 2ⁿ⁺²  teilbar, beweis?

Comments

(3^2)^{n}  -1 ist durch 2^{n+2}  teilbar, beweis?

 

Ich hab hier mal einige Umformungen und eine Verankerung. Der Induktionsschritt ist noch offen.

(3^2)^{n}  -1
= (3^n)^2 - 1 = (3^n - 1)(3^n + 1)           Produkt 2er gerader Zahlen.  =?= k*2^{n+2}

(3^2)^{n}  -1 = k*2^{n+2}          k aus N

Verankerung n=1

9-1 = 8.  2^3= 8. ok mit k=1.

Induktionsschritt n --> n+1

Induktionsvoraussetzung:

(3^2)^{n} -1  = k*2^{n+2}         k aus N

Induktionsbehauptung:
(3^2)^{n+1} -1  = m*2^{n+3}        m aus N

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Ich befürchte, das hast Du falsch interpretiert.

Es ist nicht (3²)ⁿ gemeint, sondern 3^{2ⁿ}.

 

Das Deinige funktioniert schon für n=3 nicht mehr:

(3²)³-1=728

2³⁺²=32

 

728/32=22,75

 

;)

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@Unknown:  Deine Interpretation klappt.

Answer 1

3 ^{2^ n}  -1 ist durch 2ⁿ⁺²  teilbar, beweis?

Neue Interpretation:

Verankerung n=1

9-1 = 8.  2³= 8. ok mit k=1.

Induktionsschritt n --> n+1

Induktionsvoraussetzung:

3^{2^n} -1  = k*2ⁿ⁺²         k aus N

Induktionsbehauptung:
3^{2^ (n+1)} -1  = m*2ⁿ⁺³        m aus N

3^{2^ (n+1)} -1  = 3²*^{2^ (n)} -1  =  (3^{2^ (n)} -1)  (3^{2^ (n)} + 1) 

=  k*2ⁿ⁺² *  (3^{2^ (n)} + 1) 

          |Klammer ist gerade Zahl. Also 2*t   t Element N

= k*2ⁿ⁺² * 2t

= kt*2^{n+3} = m*2^{n+3}         qed Induktionsschritt.