n Lösungen von komplexen Gleichungen z^n

Question

Hallo :)

Ich weiß, dass die Gleichung zⁿ = 1 genau n Lösungen hat mit:

z_k = e^(i*2kπ)/n , für k = {0,1,...,n-1}

Da 1 rein reell ist und sich sowohl sin() als auch cos() 2π-Periodisch sind.

Wenn ich nun aber die Gleichung zⁿ= i gegeben habe und davon alle Lösungen brauche, kann ich z_k so umschreiben, dass es mir auch alle Lösungen liefert?

Da i rein imaginär ist dachte ich an e^(i*πk)/(2n) .. Leider kommt das nicht hin.

Sieht vielleicht jemand meinen Denkfehler oder hat einen anderen Ansatz für mich?

Und wie kann man theoretisch ganz leicht auf beliebige Lösungen kommen von solchen komplexen Gleichungen?

Vielen Dank für Antworten.

Answer 1

Hi Lici,

sei \( z^n = r e^{i \varphi} \).

Dann kriegst du alle Lösungen durch:

$$ \Large{z_k = \sqrt[n]{r} e^{i\frac{\varphi + 2k\pi}{n}} }, \quad \large{ k \in \{0, \dots, k-1\}}$$

Gruß

Comments

Suuuper,

habe mir gerade auch noch den Beweis angesehen.

Jetzt verstehe ich auch meinen Denkfehler.

Vielen Dank :)