Schreiben Sie die folgenden Mengen als endliche Vereinigung von Intervallen: {x EL K: ||x|-3| >2}

Question

Sei K ein angeordneter Körper. Schreiben Sie die folgenden Mengen als endliche Vereinigung von Intervallen:

$$\begin{array} { l } { \text { a) } \{ x \in K : \| x | - 3 | > 2 \} } \\ { \text { b) } \left\{ x \in K : \left| 1 - x ^ { 2 } \right| \leq 3 \right\} } \end{array}$$

Comments

Zeichne die Graphen und schneide sie entsprechend der Zahl rechts ober und unterhalb der x-Achse ab.

Dann bestimmst du die richtigen Bereiche auf der x-Achse.

Schaffst du das?

Answer 1

Oder du löst einfach die Beträg auf.

$$\begin{array} { l } { \{ x \in K : | | x | - 3 | > 2 \} } \\ { = \{ x \in K : | x | - 3 > 2 \} \cup \{ x \in K : - ( | x | - 3 ) > 2 \} } \\ { = \{ x \in K : | x | > 5 \} \cup \{ x \in K : | x | < 1 \} } \\ { = ( \{ x \in K : x > 5 \} \cup \{ x \in K : x < - 5 \} ) \cup ( \{ x \in K : x < 1 \} \cap \{ x \in K : x > - 1 \} ) } \\ { = ( ( 5 , \infty ) \cup ( - \infty , - 5 ) ) \cup ( ( - \infty , 1 ) \cap ( - 1 , \infty ) ) } \\ { = ( - \infty , - 5 ) \cup ( -1 , 1 ) \cup ( 5 , \infty ) } \end{array}$$

Comments

{x ∈ K: |1-x²| ≤3}    ist richtig

{x ∈ K: 1-x²| ≤3} ∪ {x ∈ K: -(1-x²) ≤ 3} 

hier ist der Fehler, dass du beim kleiner auflösen die Mengen schneiden musst, also:

{x ∈ K: 1-x² ≤3} ∩ {x ∈ K: -(1-x²) ≤ 3} 

dann damit weiter,

{x ∈ K: -x²≤ 2 } ∩ {x ∈ K: x² ≤ 4}

nur jetzt ist bei dir was komisches passiert!

{x ∈ K: x² ≥ 2} ∩ {x² ≤ 2 } ∪ {x ∈ K: x2 ≤ 4} verstehe ich nicht!

Ich mach mal oben weiter,

{x ∈ K: -x²≤ 2 } ∩ {x ∈ K: x² ≤ 4} 

={x ∈ K: x² ≥-2 } ∩ {x ∈ K: x² ≤ 4}

= ℝ ∩ {x ∈ K: √(x²) ≤ √(4)}

={x ∈ K: |x| ≤ 2}

={x ∈ K: x ≤ 2}∩{x ∈ K: -x ≤ 2}

={x ∈ K: x ≤ 2}∩{x ∈ K: x ≥-2}

={x ∈ K: -2 ≤ x ≤ 2}

=[-2,2]

 

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Danke für die Hilfe.

Kann zwar den Schritt (bzw. wie man darauf kommt) von

{x ∈ K: x² ≥-2 } ∩ {x ∈ K: x² ≤ 4}

auf

= ℝ ∩ {x ∈ K: √(x2) ≤ √(4)}

nicht 100% nachvollziehen - aber ich versuchs mal weiter. Danke.

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also einmal haben wir links alle x für die x²>-2 ist, und das gilt nunmal für jede reelle Zahl. Aber ich sehen gerade wir sind in einem angeordneten Körper K, dann ersetze am besten das ℝ durch K.

Auch da gilt immer x²≥0>-2.

Und rechts habe ich einfach die Wurzel auf beiden Seiten gezogen. Und es gilt √(x²)=|x|

 

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Super. Jetzt hab ich es :)