Quadratische Funktionsgleichung für Viaduc de Viaur aufstellen.

Question

Aufgabe:

Der Viaduc de Viaur ist Teil der Eisenbahnlinie Albi-Rodez in den Cevennen. Er war die erste stählerne Grossbrücke Frankreichs. Der Verlauf des Mittelbogens lässt sich näherungsweise durch den daneben gezeichneten Graphen einer quadratischen Funktion beschreiben.

Stelle die zugehörige Funktionsgleichung in der Form \( y=a x^{2}+b x+c \) auf.

Ansatz/Problem:

Wie löst man diese quadratische Funktion? Gegeben sind die Punkte eines Graphen: S(4/-2) und P(11/-4) Jetzt muss ich die Funktionsgleichung in Form y=ax² + bx + c aufstellen.

Hier ist die Lösung:

- S(4/- 2) : y= a(x - 4)² - 2

- P(11/- 4) :  -4= a(11-4)² - 2      a= - 2/49

- y= -2/49(x - 4)² - 2 = -2/49x² + 16/49 - 130/49

Wäre dankbar, wenn mir jemand den Lösungsweg erklären könnte.

Answer 1

Also, da du bei einer Parabel die Funktion y= ax²+bx+c bestimmen musst, bräuchtest du eigentlich 3 Informationen, da du drei Variablen bestimmen musst (a,b,c). Da du aber weißt, dass einer der beiden Punkte die du gegeben hast, der Scheitelpunkt ist, bringt dich das direkt zur Scheitelpunktform:

y-y_S = a (x - x_S)²

Hier setzt du alles ein was du hast (also den Scheitelpunkt für x_s und y_S und die Koordinaten des weiteren Punktes für x und y). Daraus erhältst du die Variable a. Diese dann wieder in die Scheitelpunktform einsetzen zusammen mit den Koordinaten des Scheitelpunkts (hier ist es wichtig für x und y nichts einzusetzen, da du in der fertigen Funktion die beiden Variablen ja behalten möchtest). Jetzt nur noch ausmultiplizieren und fertig!

Answer 2

die Funktionsgleichung hat die Form

y = f(x) = ax² + bx + c und damit

f'(x) = 2ax + b

Wir brauchen 3 Informationen, um die 3 Unbekannten a, b und c zu bestimmen.

I. f(11) = -4 = 121a + 11b + c

II. f(4) = -2 = 16a + 4b + c

Und weil S der Scheitelpunkt ist, ist dort f'(x) = 0, also

III. f'(4) = 0 = 8a + b

I. - II. ergibt

IV. 105a + 7b = -2

IV. - 7 * III. ergibt

49a = -2 | a = -2/49

Eingesetzt in IV.

-210/49 + 7b = -2

7b = -2 + 210/49 = -98/49 + 210/49 = 112/49

b = 16/49

Das eingesetzt in zum Beispiel II. ergibt

-32/49 + 64/49 + c = -2 = -98/49

c = -130/49

Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung

f(x) = -2/49 * x² + 16/49 * x - 130/49

Besten Gruß