Deine Funktion ist Punkt symmetrisch. Was nun die Aussage von Gast über den Satz von Vieta anlangt, so werde ich hier meine systematische Theorie der Wurzelwurzeln ( W W ) vorlegen. Bei einer biquadratischen Gleichung ( BQG ) gibt es nämlich im Gegensatz zur gewöhnlichen QG die Möglichkeit, eine Mitternachtsformel ( MF ) direkt aus dem Satz von Vieta abzuleiten. Die Gleichung habe die Form
x ^ 4 - p x ² + u ² = 0 ( 1 )
Dann tut ihr doch immer diese z-Substitution anwenden
z := x ² ( 2a )
z ² - p z + u ² = 0 ( 2b )
Dann lautet doch der Vieta von ( 2b )
p = z1 + z2 = x1 ² + x2 ² ( 3a )
wobei die Substitution in ( 3a ) genau wieder zurück genommen wurde. Und für u findest du
u ² = z1 z2 ===> u = x1 x2 ( 3b )
Nun ist aber ( 3b ) die quadratische Ergänzung von ( 3a ) ; siehst du das? D.h. ich quadriere z nicht wie bei der herkömmlichen MF , sondern ich ziehe aus z , der " Wurzel " , die W W .
( x2 +/- x1 ) ² = p +/- 2 u ( 4a )
( 4a ) bilden ein LGS zur Bestimmung der Unbekannten x1;2 , die versprochene neue MF . Erwähnt sei ferner, dass ich mich um eine Kategorienlehre der BQF bemüht habe; wir haben hier Kategorie p > 0 ; q > 0 - auf Grund der cartesischen Vorzeichenregel notwendige Bedingung für zwei reelle Wurzelpärchen.
W W bilden ein Kapitel der Galoistheorie ; hier für Interessenten mein Link zu dem Thema bei der Konkurrenz Cosmiq, warum ich meine, dass man so etwas machen soll. Hier meine Antwort als User " Misterknister "
http://www.cosmiq.de/qa/show/3368651/Wie-vereinfacht-man-folgenden-Ausdruck-2-sqrt-3-2-sqrt-2-2-sqrt-2/
In deinem Falle ist p = 10 c ² und u = 3 c ²
( x2 + x1 ) ² = p + 2 u = 16 c ² ===> x2 + x1 = 4 c ( 4b )
( x2 - x1 ) ² = p - 2 u = 4 c ² ===> x2 - x1 = 2 c ( 4c )
x2 = aritm. Mittelwert = 3 c ( 4d )
x1 = halbe Differenz = c ( 4e )
Gefordert, die Zerlegung von
f ( x ) = ( x ³ - 5 c ² x ) / ( x - c ) ( x + c ) ( x - 3 c ) ( x + 3 c ) = ( 5a )
= A1 / ( x - c ) + A2 / ( x + c ) + B1 / ( x - 3 c ) + B2 / ( x + 3 c ) ( 5b )
Keiner kennt es; setzt sich einfach nicht durch; die Rothstein-Trager-Integration.
https://www.mathelounge.de/241144/hilfe-bei-partialbruchzerlegung Ich kann unmöglich alles zwei Mal sagen; die Entwicklungskoeffizienten selbst ergeben sich aus Integralen. Hier die 4 Integralkerne
G ( x ; c ) = ( x ³ - 5 c ² x ) / ( x ² - 9 c ² ) ( x + c ) ( 6a )
A1 = G ( c ; c ) = ( c ³ - 5 c ³ ) / ( c ² - 9 c ² ) ( c + c ) = 1/4 ( 6b )
G ( x ; 3 c ) = ( x ³ - 5 c ² x ) / ( x ² - c ² ) ( x + 3 c ) ( 6c )
B1 = G ( 3 c ; 3 c ) = ( 3 ³ c ³ - 3 * 5 c ³ ) / ( 3 ² c ² - c ² ) ( 3 c + 3 c ) = 1/4 ( 6d )
Im Übrigen sind B1 = A1 und B2 = A2 - warum? Beschränken wir uns auf zwei Pole; der Beweis ließe sich für beliebig viele Pärchen führen.
f ( x ) := A1 / ( x - x0 ) + A2 / ( x + x0 ) ( 7a )
f ( - x ) = A1 / ( - x - x0 ) + A2 / ( - x + x0 ) ( 7b )
= - A1 / ( x + x0 ) - A2 / ( x - x0 ) ( 7c )
Andererseits hatten wir aber in ( 7a ) ungerade Symmetrie voraus gesetzt:
f ( - x ) = - f ( x ) = - A1 / ( x - x0 ) - A2 / ( x + x0 ) ( 8 )
Da die TZ eindeutig ist, ist in ( 7c;8 ) Koeffizientenvergleich zugelassen; wzbw
f ( x ) = 1/4 [ 1 / ( x + c ) + 1 / ( x - c ) + 1 / ( x + 3c ) + 1 / ( x - 3c ) ] ( 9 )
