Summen: Formen Sie die Ausdrücke um: ∑(2i+2)/2, ∑2^{2-i}, ∑lb(2i/(i-1))

Question

Formen Sie die folgenden Ausdrücke so um, dass geschlossene Ausdrücke ohne das Summen- und Produktsymbol entstehen.

a)

$$ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 2 i + 2 } { 3 } $$

b)

$$ \sum _ { i = 2 } ^ { n } 2 ^ { 2 - i } $$

c)

$$ \sum _ { i = 2 } ^ { n } \log _ { 2 } \left( \frac { 2 i } { i - 1 } \right) $$

Comments

Das zweite Beispiel ist eine geometrische Reihe. Vgl. auch hier: https://www.mathelounge.de/23270/summenterm-umformen-k-2-bis-n-2-2-k-geometrische-reihe

Answer 1

1) Behauptung:

$$ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 2 i + 2 } { 3 } = \frac { n ( n + 3 ) } { 3 } $$

Beweis: Vollständige Induktion nach n.

I.A.: n=1:

$$ \frac { 2 * 1 + 2 } { 3 } = \frac { 4 } { 3 } = \frac { 1 * ( 1 + 3 ) } { 3 } $$

I.S.: n → n+1

$$ \sum _{ i=1 }^{ n+1 }{ \frac { 2i+2 }{ 3 }  } =\sum _{ i=1 }^{ n }{ \frac { 2i+2 }{ 3 }  } +\frac { 2(n+1)+2 }{ 3 } \\ Nach\quad Induktionsvoraussetzung:\\ =\frac { n(n+3) }{ 3 } +\frac { 2(n+1)+2 }{ 3 } \\ =\frac { { n }^{ 2 }+3n+2n+4 }{ 3 } \\ =\frac { { n }^{ 2 }+5n+4 }{ 3 } \\ =\frac { (n+1)(n+4) }{ 3 } $$

 

2) Behauptung:

$$ \sum _ { i = 2 } ^ { n } 2 ^ { 2 - i } = 2 - 2 ^ { 2 - n } $$

Beweis: Vollständige Induktion nach n.

I.A.: n=2:

$$ \sum _ { i = 2 } ^ { 2 } 2 ^ { 2 - i } = 2 ^ { 0 } = 1 = 2 - 2 ^ { 0 } $$

I.S.: n → n+1

$$ \sum _{ i=2 }^{ n+1 }{ { 2 }^{ 2-i } } =\sum _{ i=2 }^{ n }{ { 2 }^{ 2-i } } +{ 2 }^{ 2-(n+1) }\\ Nach\quad Induktionsvoraussetzung:\\ =2-{ 2 }^{ 2-n }+{ 2 }^{ 2-n-1 }\\ =2-{ 2 }^{ 2-n }+{ 2 }^{ 1-n }\\ =2-{ 2 }^{ 1-n }\\ =2-{ 2 }^{ 2-(n+1) } $$

Zu 3) hab ich noch keinen Ansatz, vielleicht hilft dir da ja jemand anderes.

Comments

Was ist die Induktionsvoraussetzung bzw. Induktionsbehauptung genau und wie bekomme ich sie in den beiden Beispiel raus? Danke

---

Tipp: log(2i/(i - 1)) = log(2) + log(i) - log(i - 1).

---

Du nimmst bei der Induktionsvoraussetzung an, dass du die Gleichung bereits für ein n gezeigt hast und zeigst sie dann für n+1.

Um auf so eine Gleichung zu kommen, setze ich einige Zahlen für n ein (z.B. 1 bis 5) und schaue, was herauskommt. Meist kann man dann leicht eine Abhängigkeit zu n feststellen.

Bei Log ist das meiner Meinung nach aber schwieriger, deshalb kein Ansatz zu 3).

Falls du deine geschlossenen Ausdrücke nicht beweisen musst (wovon ich nicht ausgehe), wäre nur der Teil unter Behauptung wichtig.

Mehr über den vollständige Induktion kannst du dir auch bei wikipedia anschauen: https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion

---

Danke für Erkläung. Wir müssen aber hier durch "Indexverrschiebung" umformen, nicht beweisen.

Answer 2

Zu 3) Wende die Logarithmengesetze an.

$$ \begin{array} { l } { \sum _ { i = 2 } ^ { n } \log \frac { 2 i } { i - I } = \sum _ { i = 2 } ^ { n } [ \log ( 2 ) + \log ( i ) - \log ( i - l ) ] } \\ { = \sum _ { i = 2 } ^ { n } \log ( 2 ) + \sum _ { i = 2 } ^ { n } \log ( i ) - \sum _ { i = 2 } ^ { n } \log ( i - 1 ) } \\ { = ( n - 1 ) \log ( 2 ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \log ( i ) + \log ( n ) - \log ( 1 ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \log ( i ) } \\ { = ( n - 1 ) \log ( 2 ) + \log ( n ) } \end{array} $$

Für die Basis  2  reduziert sich die Summe wegen log₂(2) = 1  auf  n - 1 + log₂(n).

Comments

Vielleicht meinst du es so:

Definiere  s := ∑_{i = 2,...,n} 2^{2 - i}
Dann ist  2s = 2·∑_{i = 2,...,n} 2^{2 - i} = ∑_{i = 2,...,n} 2^{3 - i} = ∑_{i = 1,...,n - 1} 2^{2 - i}
Bilde die Differenz  2s - s = ∑_{i = 1,...,n - 1} 2^{2 - i} - ∑_{i = 2,...,n} 2^{2 - i} = 2 - 2^{2 - n}
Also ist  s = ∑_{i = 2,...,n} 2^{2 - i} = 2 - 2^{2 - n}.

---

Definiere s := ∑_{i = 1,...,n} (i + 1). Beachte, dass man die gleiche Summe erhält, wenn man die Summanden rückwärts addiert, d.h. es gilt auch  s = Σ_{i = 1,...,n} (n - i + 2). Addition ergibt
2s = s + s = Σ_{i = 1,...,n} (i + 1) + ∑_{i = 1,...,n} (n - i + 2) = ∑_{i = 1,...,n} (i + 1 + n - i + 2)
     = ∑_{i = 1,...,n} (n + 3) = n·(n + 3). Beachte, dass die Laufvariable  i  herausgefallen ist.
Division durch  2  liefert  s = n·(n + 3)/2.
Damit gilt für  (1):
∑_{i = 1,...,n} (2i + 2)/3 = 2/3·∑_{i = 1,...,n} (i + 1) = 2/3·s = 2/3·n·(n + 3)/2 = n·(n + 3)/3. 

---

Alles superverständlich

Wie weisst du/siehst du das hier?

∑i = _1,...,n (n + 3) = n·(n + 3)

Jetzt wo ichs gesehen habe werd ich bei nächster gelegenheit hoffentlich selbst drauf kommen - dennoch hätte ich gern irgendwie eine ahnung wie man darauf kommen könnte ohne es "schon einmal gesehen" zu haben

 

---

∑_{i = 1,...,n} (n + 3) = (n+3) + (n+3)+…  

                   |n gleiche Summanden, die nicht von i abhängen

= n·(n + 3) 

Nachtrag: Bsp. b) ist eine geometrische Reihe.