kohärente Risikomaße

Question

danke. Mit Axiome meine ich die Eigenschaften, die erfüllt sein müssen, damit ein Risikomaß als "kohärent" gilt.

In den Wiki Artikel sind es folgende 4 (Es sind immer diese 4- vom Wortlaut her, aber sie unterscheiden sich in Ihrer "innere definition"):

Monotonie

für alle $X,Y \in L^0$ gilt: $X \preceq_{st} Y \Rightarrow \rho(X)\le \rho(Y)$ .

Translationsinvarianz

für jedes $m \in \R$ gilt: $\rho(X-m)=\rho (X)-m$ .

positive Homogenität

$\alpha\ge 0$ gilt: $\rho(\alpha X)=\alpha \rho(X)$ .

Subadditivität

$\rho(X+Y)\le\rho(X)+\rho(Y)$

sind Monotonie und Translationsinvarinaz unterscheidlich definiert (oder ich sehe/verstehe es falsch)

(A1) $X \ge Y$ f.s. <!-- MATH $\Longrightarrow \rho (X) \ge \rho (Y)$ --> $\Longrightarrow \rho (X) \ge \rho (Y)$	(Monotonie)
(A2) <!-- MATH $\rho (X+Y) \le \rho (X) + \rho (Y)$ --> $\rho (X+Y) \le \rho (X) + \rho (Y)$	(Subadditivität)
(A3) <!-- MATH $\rho (\lambda X) = \lambda \rho (X)$ --> $\rho (\lambda X) = \lambda \rho (X)$ für <!-- MATH $\lambda \ge 0$ --> $\lambda \ge 0$	(positive Homogeneität)
(A4) <!-- MATH $\rho (X+a) = \rho (X) + a$ --> $\rho (X+a) = \rho (X) + a$	(Translationequivarianz)