Man berechne den Gradienten (elektrisches Feld). Man berechne alle Punkte, in denen das elektrische Feld verschwindet.

Question

Aufgabe:

Das elektrische Potential einer Punktladung im \( \mathbb{R}^{2} \), die im Punkte \( \vec{a} \) plaziert ist, beträgt

\( U(\vec{x})=\frac{1}{|\vec{x}-\vec{a}|} \)

Jetzt seien zwei gleiche Punktladungen in den Punkten \( (\pm 1,0) \) konzentriert. Die Potentialfunktion \( U(\vec{x}) \) ist nun gegeben durch die Summe der beiden Einzelpotentiale.

(a) Man berechne den Gradienten (= elektrisches Feld) \( \vec{F}=\operatorname{grad} U(\vec{x}) \).

(b) Man berechne alle Punkte, in denen das elektrische Feld verschwindet.

Answer 1

du kannst also nirgendwo eine Formel für den Gradienten finden (https://de.wikipedia.org/wiki/Gradient_%28Mathematik%29#Kartesische_Koordinaten).

Es ist

\( U(\vec{x}) = \frac{1}{|\vec{x} - \vec{a}|} +  \frac{1}{|\vec{x} + \vec{a}|} \)

und

\( grad(U) = (\partial_1 U, \partial_2 U) \).

Damit ist

\( grad(U) = - (  \frac{x_1 - a_1}{|\vec{x} - \vec{a}|^3}+ \frac{x_1 + a_1}{|\vec{x} + \vec{a}|^3}, \frac{x_2 - a_2}{|\vec{x} - \vec{a}|^3}+ \frac{x_2 + a_2}{|\vec{x} + \vec{a}|^3} ) \).

Viel Spaß bei Aufgabe (b)!

MfG

Mister