Duale Abbildung der Identität

Question

ich habe zu einem doch sehr einfachen Beweis noch ein paar Verständnisprobleme. Ich würde mich freuen, wenn mich jemand darüber aufklären könnte.

Es soll gezeigt werden, dass (id_V)* = id_V* gilt.

Das zeigt man meiner Meinung nach durch (id_V)*(v) = v(id_V)=v=id_V*(v).

Aber von wo nehme ich jetzt eigentlich das v? id_V* bildet von V* auf V* ab, also bildet id_V*(v) ein v aus V* auf sich selbst ab. Wenn das v aber aus V* stammt, dann kann man doch nicht sagen, dass v(id_V)=v ist, oder? Denn id_V bildet ja von V auf V ab und kann mit einem v aus V* gar nichts anfangen.

Irgendwo ist mein Denkfehler, aber ich weiß im Moment nicht wo.

Answer 1

allgemein ist ja wenn f: V ---.> W geht,  f * : W* ---> V *
jetzt ist das f ja id_V   : V ---> V  also ( id_V  )* : V* ---> V* und zwar wenn a aus V* ist,
dann ist ( id_V  )* (a) = a Ο id_V  = a
Also jedes a aus V*wird auf sich abgebildet und damit ist diese
Abbildung zugleich die identische Abb. von V*.

zu deiner Überlegung: Wenn das v aber aus V* stammt, dann kann man doch nicht sagen, dass v(id_V)=v ist, oder? Denn id_V bildet ja von V auf V ab und kann mit einem v aus V* gar nichts anfangen.
also dein v ist ja mein a.

kann man doch nicht sagen, dass v(id_V)=v ist, oder? Denn id_V bildet ja von V auf V ab
aber (id_V) ist ein Element von Hom(V;V) und dann ist v(id_V) die Hintereinanderausführung
von id_V  ( Das Ergebnis ist also wieder in V) und dann v welches ja aus V* ist, also
das Element von V in den Grundkörper abbildet.

Comments

Vielen Dank für die umfangreiche Erklärung. Ich war mir bei meiner Überlegung nicht bewusst, dass jedes v aus V' eine Linearform ist, also eine Abbildung von V auf K. Damit ist mir der Beweis nun klar.

Grüße