Ungleichung, Beweis - Anordnung reeller Zahlen. Zeige: 0 < a < b, n ∈N -> 0< a^n < b^n

Question

wir sollen folgendes Beweisen:

(1); a < b,  0 < c -> ac < bc

Das ist einfach: wenn a < b und 0< c dann ist b -a >0 und c >0. Das Produkt aus 2 positiven Zahlen ist positiv, also ist bc - ac = c(b-a) >0 -> ac < bc

Nur weiß ich nicht wie ich die 2. Aufgabe beweisen soll:

0 < a < b, n ∈N -> 0< a^n < b^n

Comments

Vielleicht so:$$b^{n+1}-a^{n+1}=(b-a)\cdot\sum_{k=0}^nb^{n-k}a^k>0.$$

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Mit deiner Antwort komme ich nicht klar bzw. sie erscheint mir
unnötig lang.

a < b  | * c
Da c > 0 ist dreht sich das Relationszeichen nicht um.
a * c < b * c

In Worten : Vervielfache ich einen kleinern Wert (a ) und einen
größeren Wert ( b )  bleibt es dabei das das Vielfache von a
kleiner bleibt als das Vielfache von b.

Answer 1

Was für eine 2. Aufgabe?