Sei X der Raum der auf [0,1] stetigen Funktionen x : [0,1] → ℝ, versehen mit den Normen
|| x ||∞ = sup |x(t)| (für 0 ≤ t≤ 1) bzw. ||x||1 = ∫01 |x(t)| dt.
Sei jetzt \( \left(x_{n}\right) \subset X \) die Folge der stetigen Funktionen
\( x_{n}(t)=\frac{1}{1+n t^{2}}, \quad t \in[0,1], n \in \mathbb{N} \)
Gibt es eine stetige Grenzfunktion \( x \) mit \( x_{n} \rightarrow x \) in \( \left(X,\|\cdot\|_{\infty}\right) \) oder in \( \left(X,\|\cdot\|_{1}\right) \)?
Zeigen Sie an einem Beispiel, dass der Raum \( \left(X,\|\cdot\|_{1}\right) \) (Bezeichnung: \( \left.C_{L_{1}}([0,1])\right) \) nicht vollständig ist.