Funktionsterme einer ganzrationalen Funktion des 3.Grades bestimmen

Question

Ich hab mal hier eine Aufgabe die ich nicht verstehe..

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3.Grades schneidet die x-Achse nur in x=-1 und x=3. Bestimme zwei mögliche Funktionsterme.

Kann ich die Funktionsgleichung mir Satz vom Nullprodukt ausrechnen? Wenn ja, wie geht es?

Answer 1

Ja, das geht. Beachte: Die Funktion muss mindestens einen Vorzeichenwechsel haben und der liegt an einer der beiden Nullstellen. An der anderen Nullstelle kann sie dann keinen Vorzeichenwechsel mehr haben, da es sonst eine dritte Nullstelle geben müsste. Das bedeutet, die andere Nullstelle muss eine doppelte Nullstelle sein. Damit hast Du drei Linarfaktoren und einen konstanten Faktor \(a\ne0\). Die beiden möglichen Produkte musst Du aber nicht ausmultiplizieren, es genügt, sie hinzuschreiben.

Answer 2

das ist korrekt ;).

Du hast also schon zwei Nullstellen und deshalb

f(x) = (x+1)(x-3)

Das wäre allerdings nur eine Funktion zweiten Grades. Wir müssen daraus eine Funktion dritten Grades machen. Da es keine weitere anderartige Nullstelle gibt, muss eine von diesen doppelt gewählt werden, also quadriert werden. Allgemein dann noch ein a vorsetzen und fertig.

g(x) = a*(x+1)^2(x-3)

oder

h(x) = a*(x+1)(x-3)^2

Für a kannste abgesehen von der 0 alles einsetzen was Du willst^^.

Grüße

Comments

Hallo Unknown,
es ist  schon interessant wie sich selbst die Antworten gleichen.
mfg Georg

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Achso... So ist das.  Und was ist wenn ich eine Funktion des 3.Grades habe die dir x-Achse in 0, - 2 und 2 schneidet?

Da kann ich ja auch Satz vom Nullprodukt verwenden... Macht man es aber dann so:

F(x) = ax*(x+2)^2(x-2)

Und

F(x) =ax*(x+2)(x-2)^2

Und was passiert eigentlich mit der 0?

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@Gregor: Wenn nicht, wäre eine Antwort falsch :D.

Zudem ist ja klar, wer von wem abgeschrieben hat^^.

@Gast:

F(x) = ax*(x+2)²(x-2)

Hier hast Du 4 x'en. Das wäre demnach eine Funktion vierten Grades. Das passt also nicht.

Lass das Quadrat weg und es passt.

Die Nullstelle x = 0 hast Du mit a*x*... berücksichtigt, denn (x-0) = x ;).

Alles klar?

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Alles klar! :)

Eine  Frage jedoch noch zu der Aufgabe mit der 0,-2 und 2...

Kann ich einen Funktionsterm auch ohne das ax vorne aufstellen? Zum Beispiel:

F(x) =(x+2)(x-2)^2

Ist es dann ein Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion des 3.Grades, kann das sein?

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Ist es dann ein Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion des 3.Grades, kann das sein? 

Ja, das wäre eine Funktion dritten Grades, die Nullstellen wären aber x_1 = -2 und x_(2,3) = 2...also nicht was Du wolltest. Es ist a*x*(x-2)(x+2) die einzige Möglichkeit eine Funktion dritten Grades mit obiger Bedinung aufzustellen ;).

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Bzw. Welche zwie verschiedene Funktionsterme kann ich mit den Werten aufstellen?

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Einfach zwei beliebige a wählen ;).

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Aaaaah achso! Danke Ihnen!

Answer 3

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3.Grades schneidet die
x-Achse nur in x=-1 und x=3. Bestimme zwei mögliche Funktionsterme. 

f ( x ) = ( x + 1 ) * ( x - 3 ) * ( x + b )

Den 3.Faktor ( Nullstelle ) gibt es laut Aufgabenstellung nicht, sondern es gibt
nur 2 Schnittstellen. Möglich ist

f ( x ) = ( x + 1 )^2 * ( x - 3 )
f ( x ) = ( x + 1 ) * ( x - 3 ) ^2

Vollständig werden alle Möglichkeiten durch

f ( x ) = a * ( x + 1 )^2 * ( x - 3 )
f ( x ) = a * ( x + 1 ) * ( x - 3 ) ^2

Für a kann beliebiges ( außer 0 ) also auch a = 1 eingesetzt werden.

~plot~ ( x + 1 )^2 * ( x -3 ) ~plot~