Grenzwert bestimmen, Menge der natürlichen Zahlen, Rechnen mit Modulo (Aufnahmeprüfung Analysis)

Question

Aufgabe 25:

Grenzwert bestimmen:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1-\sqrt{2} \sin x}{\cot ^{2} x-1}= \) ?

A) \( -\frac{1}{4} \)
B) \( \frac{1}{4} \)
C) 0
D) \( \frac{1}{2} \)
E) \( 1 \frac{1}{2} \)

Aufgabe 39:

N ist die Menge der natürlichen Zahlen.

\( 6^{2 n+4}+2^{3 n+2}+6 \equiv ? \)

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) E

Aufgabe 40:

Rechnen mit Modulo:

\( x+y \equiv 6(\bmod 7) \)

\( 3 x-y \equiv 2(\bmod 7) \)

\( x-y \equiv ?(\bmod 7) \)

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Ansatz/Problem:

Ich habe demnächst eine Aufnahmeprüfung in einer ausländischen Uni und die Aufgaben sind mir unverständlich.

Ich würde mich freuen wenn ihr die Aufgaben mit Rechenweg lösen könntet.

Answer 1

Hallo

Du hast einen Ausdruck 0/0 , wende hier die Regel von L'Hospital an.

Aufgabe 25)

Answer 2

(39) Modulo \(7\) gilt$$\quad6^{2n+4}+2^{3n+2}+6$$$$\equiv(-1)^{2n+4}+2^2\cdot2^{3n}-1$$$$\equiv1+4\cdot8^n-1$$$$\equiv4\cdot1^n$$$$\equiv4\mod7.$$

Answer 3

40 kannst du ganz normal rechnen. Schreibe immer die dreifachen Gleich und daneben (mod 7)

ich schenke mir das, ausser, wenn ich gerade 'modulo' ändere.

modulo 7 rechnet man nachher . modulo 7 gilt 1 = 8 = 15, 2=9= 16 usw. 

Nun die Rechnung:

x+y=6                (I)

3x - y = 2            (II) 

-------------- +

4x = 8

x = 2      wegen (I) y = 4

x - y = 2 -4 = -2  

x-y = -2+7 (mod 7) 

x-y = 5 (mod7)

Dreiecksfläche: Grundseite * Höhe / 2

Nun die Verhältnisse ausnützen.

H / h = 5/3 (2. Strahlensatz)       H = 5/3 * h

G / g = 4 / 2  = 2      -------> G = 2* g

F = 1/2*GH = 1/2 * 2g * 5/3 h = 1/2 gh * 10/3 = f * 10/3 

F = f*10/3      | *10/3 und / F

3/10 = f/F 

Grenzwert: 

Versuche es mit Hospital 

Answer 4

$$ 6^{2n+4} + 2^{3n+2} + 6 \\\,\\ \equiv (-1)^{2n+4}  + 4\cdot 8^n - 1 \\\,\\ \equiv 1 + 4\cdot 1^n - 1 \\\,\\ \equiv 4 \mod 7. $$

(Bei Bedarf lässt sich jeder einzelne Schritt begründen.)