Sternverknüpfung, modulo, Menge, Logarithmen, Hospital (Analysis Aufnahmeprüfung)

Question

Aufgabe 17:

\( \log _{2} 3=a \)

\( \log _{2} \frac{3}{5}+\log _{2} \frac{5}{9}+\log _{4} 27=? \)

A) \( \frac{a}{2} \)
B) \( 1 - \frac{a}{2} \)
C) \( a - 1 \)
D) \( a + 1 \)
E) \( 1 + \frac{a}{2} \)

Aufgabe 49:

\( A=\{x \mid 1 \leq x \leq 150, x=4(\bmod 5)\} \)
\( B=\{y \mid 75 \leq y \leq 200, y=2(\bmod 3)\} \)
\( s(A \cap B)=? \)

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

Aufgabe 59:

Grenzwert bestimmen:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{\ln x}=? \)

A) -∞
B) 0
C) 1
D) 2
E) ∞

Aufgabe 71:

\( a^{*} b=\left\{\begin{array}{l}a-b, a \leq b \\ a+b, a>b\end{array}\right. \)

\( (2·0) · (1·3) = ? \)

A) 4
B) -4
C) 0
D) -2
E) 2

Answer 1

Zu Aufgabe 17:

...log_(2)3 - log_(2) 5 + log_(2) 5 - log_(2) 9 +  log_(4) 3^3

= log_(2)3 - log_(2) 5 + log_(2) 5 - log_(2) 9 + 3 log_(4) 3

= log_(2)3  - log_(2) 3^2 + 3 log_(4) 3

= log_(2)3  - 2 log_(2) 3 + 3 log_(4) 3          | hinten Basis wechseln

= - log_(2)3  + 3 log_(2) 3 / log_(2) 4

= - log_(2)3  + 3 log_(2) 3 / log_(2) 2^2

= - log_(2)3  + 3 log_(2) 3 / (2log_(2) 2 ) 

= - log_(2)3  + 3 log_(2) 3 / (2*1 ) 

= - log_(2)3  + 1.5 log_(2) 3 

= 0.5 log_(2)3  

= 0.5 a

zu Aufgabe 49:

A = { 4, 9, 14, ...., 149}   Endziffer klar.

B = { 77, 80, 83, 86, 89, ....  }

A n B = { 89, 89+3*5 = 104, 119, 134, 149}

s(AnB) = 5 ist die Zahl der Elemente von A n B. D.h. die Mächtigkeit der Schnittmenge.

s steht für "size" eine andere Bezeichnung für Kardinalität : https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality

Zu Aufgabe 59:

lim _{x--> unendl}. (2√x)/ ln(x)  = ∞ kann man "wissen", wenn man weiss / denkt dass ln(x) schwächer ist als jede Potenz von x mit pos. Exponenten.

Oder rechnen mit Hospital

lim _{x--> unendl.} (2√x)/ ln(x)

= lim _{x--> unendl.} (2x^{1/2})/ ln(x)              | unendl./unendl. → Hospital

= lim _{x--> unendl.} (2*1/2 * x^{-1/2}/ (1/x)           |Doppelbruch vereinfachen

= lim _{x--> unendl.} (x^{-1/2} * x)

= lim _{x--> unendl.} (x^{1/2})  

= lim _{x--> unendl.} √(x)  

= ∞

Zu Aufgabe 71: