Grenzwert der Folge zeigen

Question

Halllo

ich habe eine folge angegeben und soll es auf konvergenz überprüfen und ggf grenzwert angeben.

Folge an = √n^5+2n  -√n^5

durch einsetzen habe ich herausgefunden,dass es gg 0 strebt..weis aber leider nicht wie ich das zeigen soll.

Mfg

Answer 1

Falls du \(a_n=\sqrt{n^5+2n}-\sqrt{n^5}\) meinst: Erweitere mit \(\sqrt{n^5+2n}+\sqrt{n^5}\).

Comments

Hallo

Ja das meine ich .. Aber wie meinst du das mit erweitern??

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\(\sqrt{n^5+2n}-\sqrt{n^5}=\frac{\left(\sqrt{n^5+2n}-\sqrt{n^5}\right)\cdot \left(\sqrt{n^5+2n}+\sqrt{n^5}\right)}{\sqrt{n^5+2n}+\sqrt{n^5}}\)

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habe jetzt folgendes rausbekommen

2n / (√n^5+2n) + √n^5

kann man da noch weiter vereinfachen.. oder reicht es zu sagen nenner> zähler.. die folge an strebt gg 0.??

Mfg

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Naja, nur weil der Nenner größer ist als der Zähler, weißt du ja noch nicht, ob der Grenzwert 0 ist.
Um das zu sehen, kannst du im Nenner \(n\) ausklammern und dann kürzen.
Übrigens steht da im Nenner eine Summe, deswegen müssen unbedingt Klammern drum.

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hey

wollte sagen ,dass ich leider beim ausklammern probleme habe.

Mfg

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OK, dann gucken wir uns mal nur den Term \(\sqrt{n^5+2n}+\sqrt{n^5}\) an:
Das ist ja gleich \(n\cdot\left(\frac{1}{n}\sqrt{n^5+2n}+\frac{1}{n}\sqrt{n^5}\right)\).

Wenn wir den Bruch in die Wurzel ziehen wollen, kommt folgendes raus: \(n\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{n^2}\cdot \left(n^5+2n\right)}+\sqrt{\frac{1}{n^2}\cdot n^5}\right)\).

Soweit klar?
Du kannst jetzt in den Wurzeln noch ausmultiplizieren bzw. kürzen.

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Habe folgendes rausbekommen:

2/ √(n^3+2/n) + (√n^3)

kann man das noch umformen...

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Das ist gar nicht mehr nötig: Im Zähler steht eine Konstante, der Nenner (um den übrigens wieder Klammern fehlen) divergiert gegen \(\infty\). Das heißt ...